7-mavzu. Chiziqsiz dasturlash masalalari 1-ma’ruza rejasi

3. Shartsiz optimallashtirish masalasi

Faraz qilaylik, shartsiz ekstremum masalasining yechimini topish talab qilingan bo’lsin, ya’ni (X)= (x₁,x₂,...,x_n) funktsiyaning maksimumini (minimumini) X=(x₁,x₂,...,x_n)E_n nuqtalarda qidirish kerak bo’lsin.

(X) funktsiya birinchi tartibli hosilalari bilan birgalikda uzluksiz bo’lsa, uning ekstremumi quyidagi tenglamalar sistemasini qanoatlantiradi:
(X)/x_j=0, j= (17)
Demak, berilgan (X) funktsiya X₀ nuqtada ekstremumga ega bo’lishi uchun bu nuqta (17) sistemaning yechimi bo’lishi kerak.
Haqiqatan, agar (X) funktsiya X₀ nuqtada mahalliy maksimumga erishsa, shunday >0 con mavjud bo’ladiki, ixtiyoriy X(X₀) nuqta uchun ((X₀) X₀ nuqtaning kichik  atrofidagi nuqtalar to’plami) (X)  (X₀) tengsizlik bajariladi.
X(X₀) nuqtada X=X₀+hl_j, 0<|h|< ko’rinishda yozamiz, bu yerda l_j (j= ) birlik vektorlar. U holda 0<|h|< shartni qanoatlantiruvchi h uchun
(X₀+hl_j)- (X₀)0, j= (18)
o’rinli bo’ladi. Bundan
, h>0, (19)
va
, h<0. (20)
(19) va (20) tengsizliklardan h+0 va h-0 da limitga o’tib mos ravishda va tengsizliklarni hosil qilish mumkin. Bulardan esa
(21)
tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi. Xuddi shunday yo’l bilan X₀ nuqta f(X) funktsiyaga mahalliy minimum beruvchi nuqta bo’lgan holda ham (21) tengliklar X₀ nuqtada f(X₀) funktsiya mahalliy maksimum yoki minimumga ega bo’lishi uchun, shu nuqtada undan n ta x₁, x₂, ... , x_n noma’lumlar bo’yicha olingan xususiy hosilalar 0 ga teng bo’lishi kerakligini ko’rsatadi. Lekin bundan (17) shartni qanoatlantiruvchi har qanday nuqta ham funktsiyaga mahalliy minimum yoki maksimum qiymat beradi degan xulosa kelib chiqmaydi. Masalan, bir argumentli f (x) funktsiya uchun f'(x)=0 shart egilish nuqtasida ham o’rinli bo’lib, bu nuqtada funktsiya ekstremumga ega bo’lmasligi mumkin. Xuddi shuningdek, ikki argumentli f(x₁, x₂) funktsiya uchun shartlar egilish nuqtasida ham bajarilib, bu nuqtada funktsiya ekstremumga ega bo’lmasligi mumkin.
(17) sistemaning yechimlarini statsionar nuqtalar deb ataymiz. Berilgan f(X) funktsiya ekstremumga erishadigan nuqta statsionar nuqta bo’ladi, lekin har qanday statsionar nuqtada ham funktsiya ekstremumga erishavermaydi. Demak, (17) shart funktsiya ekstremumining mavjudligi uchun zaruriy shart, lekin u etarli shart emas. Quyidagi teorema statsionar nuqtaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalari uzluksiz bo’lgan n o’zgaruvchili uzluksiz f(X)=f(x₁, x₂, ... , x_n) funktsiyaning ekstremum nuqtasi bo’lishi uchun etarlilik shartini ko’rsatadi.
Teorema. X₀ statsionar nuqta ekstremum nuqta bo’lishi uchun shu nuqtada Gesse matritsasi deb ataluvchi

matritsa musbat aniqlangan (bu holda X₀ - minimum nuqta) yoki manfiy aniqlangan (bu holda X₀ - maksimum nuqta) bo’lishi etarlidir.
Isboti. Teylor teoremasiga asosan, 0<<1 da
f(X₀+h)-f(X₀)=f(X₀)h+1/2 h'H[X₀+ h]h, (22)
bu yerda h=(h₁, h₂, ..., h_n) n o’lchovli vektor ustun, h' esa n o’lchovli vektor qator va |h_j| ( ) etarli darajada kichik son, H[X₀+ h] - Gesse matritsasining X₀+ h nuqtadagi qiymati. - n o’lchovli gradient deb ataluvchi vektor.
X₀ nuqta statsionar nuqta bo’lganligi uchun bu nuqtada (21) o’rinli bo’ladi, demak, bu holda
f(X₀)=0. (23)
(7.22) va (7.23) dan
f(X₀+h)-f(X₀)= 1/2 h'H[X₀+ h]h. (24)
Faraz qilaylik, X₀ minimum nuqta bo’lsin. U holda
f(X₀+h)>f(X₀)
tengsizlik ixtiyoriy h0 uchun o’rinli bo’ladi, demak, bu holda
1/2 h'H[X₀+ h]h>0.
f(X) funktsiyaning ikkinchi tartibli hosilasi uzluksiz bo’lgani uchun 1/2 h'Hh miqdor X₀ va X₀+ h nuqtalarda bir xil ishorali bo’ladi va h'H[X₀]h kvadratik formadan iborat bo’ladi. Shuning uchun bu formaning (jumladan h'H[X₀+ h]h formaning) musbat bo’lishi H[X₀] ning musbat aniqlangan matritsa bo’lishiga boqliq.
Demak, X₀ statsionar nuqta minimum nuqta bo’lishi uchun shu nuqtadagi Gesse matritsasi (H[X₀]) musbat aniqlangan bo’lishi etarli ekan. Xuddi shunday yo’l bilan X₀ statsionar nuqtaning maksimum nuqta bo’lishi uchun H[X₀] ning manfiy aniqlangan bo’lishi etarli ekanligini ko’rsatish mumkin.