7-mavzu. Chiziqsiz dasturlash masalalari 1-ma’ruza rejasi

2-teorema. x₀ statsionar nuqtada va bo’lsa, bu nuqta a) n toq son bo’lganda egilish nuqta;
b) n juft son bo’lganda ekstremal nuqta bo’ladi hamda
da funktsiya maksimumga, da minimumga erishadi.
Bu teoremaning isbotini o’quvchilarga mashq sifatida xavola qilamiz.
q(x)
f(x)
q(x)=x³

0 x
f(x)=x⁴

0 x
a) b)
8-shakl.
3-misol.
1) funktsiyaning ekstremumga tekshiring

bundan x=0 statsionar nuqta bo’ladi.

n=4 juft son. Demak, x=0 nuqta funktsiya uchun ekstremal nuqta bo’ladi.
bo’lgani uchun x=0 nuqtada berilgan funktsiya minimumga erishadi. (8 a-shakl).
2) g(x)=x³,
g'(x)=3x², x=0 statsionar nuqta
g'(0)=g''(0)=0, g'''(0)=6 0
n=3 toq son. Demak, x=0 nuqta funktsiyaning egilish nuqtasi bo’ladi (8 b-shakl).
Agar E_n da aniqlangan f(X) funktsiya X^* nuqtada global (absolyut) maksimum (minimum)ga ega bo’lsa, u shu nuqtada mahalliy maksimum (minimumga) ega bo’ladi. Demak, X^* (17) sistemaning yechimi bo’lishi kerak. Shuning uchun f(X) funktsiyaga global maksimum (minimum) qiymat beruvchi nuqtani topish uchun (17) sistemaning amma yechimlarini topib, ularning har birida f(X) ning qiymatini hisoblab solishtiriladi. Shu qiymatlar orasida eng kattasi (eng kichigi) funktsiyaning global maksimumi (minimumi) bo’ladi.
Lekin noma’lumlar soni ko’p bo’lib, sistema yagona yechimga ega bo’lmasa, (17) sistemani yechish qiyin masala hisoblanadi va umuman (17) sistemani ixtioriy ko’rinishda bo’lgan hol uchun yechish sxemasining o’zi mavjud emas. Shunga ko’ra bu sistemani yechish uchun turli taqribiy usullarni qo’llash mumkin. Ulardan biri quyidagi Nyuton-Rafson usulidir. Bu usul chiziqsiz tenglamalar sistemasini sonli yechish usulidan iborat.
Faraz qilaylik, umumiy holda X=(x₁, ... , x_n) tenlamalar sistemasi va ixtiyoriy X^k nuqta (ma’lum yaqinlashish) berilgan bo’lsin. U holda Teylor formulasiga ko’ra
.
Demak, berilgan tenglamalar sismemasini quyidagi sistemaga almashtirish mumkin:

yoki matritsa formulada
A_k+V_k(X-X^k)=0.
Bu yerda barcha lar o’zaro bog’liq emas deb faraz qilinsa, V_k maxsus matritsa bo’ladi. Bu holda yuqoridagi tenglamadan
X=
hosil bo’ladi.
Nyuton-Rafson usulining g’oyasi quyidagidan iborat. Birinchi qadamda boshlang’ich nuqta X⁰ beriladi. Agar X^k topilgan bo’lsa yuqoridagi tenglamadan foydalanib, yangi X^k+1 nuqtaning koordinatalarini topiladi. bo’lganda hisoblash jarayoni to’xtatiladi va X^m sistemaning taqribiy yechimi bo’ladi. Usulning yaqinlashishi boshlang’ich X⁰ nuqtani tanlashga bog’liq. Agar bu nuqta noto’g’ri tanlansa, iteratsiyalash jarayoni uzoqlashuvchi bo’lishi ham mumkin. Nyuton usulining kamchiligi shundan iboratki, unda yaxshi boshlang’ich nuqtani tanlash yo’llari ko’rsatilmagan.