79-ma’ruza. Mavzu: Ehtimolliklar nazariyasining asosiy tushunchalari Reja

18-misol. Ikki mergan nishonga bittadan o’q uzadi. Birinchi merganning o’qi nishonga 0,8 ehtimol bilan, ikkinchi merganniki esa 0,4 ehtimollik bilan tegadi. O’q uzulgandan so’ng nishonga bitta o’q tekkanligi (A hodisa) ma’lum bo’ldi, bu o’qni birinchi mergan uzgan bo’lishi ehtimolligini toping.

Yechilishi. Tajriba o’tkazishdan oldin quyidagi gipotezalar o’rinli:

H₁-birinchi mergan otgan o’q ham, ikkinchi mergan otgan o’q ham nishonga tegmaydi;

H₂-ikkala mergan otgan o’q ham nishonga tegadi;

H₃-birinchi mergan otgan o’q nishonga tegadi, ikkinchisiniki esa tegmaydi;

H₄-birinchi mergan otgan o’q nishonga tegmaydi, ikkinchisiniki esa tegadi.

Gipotezalardan bittasi va faqat bittasi tajriba natijasida albatta ro’y beradi, ya’ni H₁, H₂, H₃, H₄ lar bog’liq bo’lmagan hodisalarning to’liq guruhini tashkil etadi.

Bu gipotezalarning tajribadan oldingi ehtimolliklari:

P(H₁)=(1-0,8)·(1-0,4)=0,12, P(H₂)=0,8·0,4=0,32,

P(H₃)=0,8·(1-0,4)=0,48, P(H₄)=(1-0,8)·0,4=0,08.

Bu gipotezalarda kuzatilayotgan A hodisaning shartli ehtimolligi quyidagilarga teng: P(A׀H₁)=0, P(A׀H₂)=0, P(A׀H₃)=1, P(A׀H₄)=1.

Tajribasidan so’ng (A hodisa ro’y bergandan keyin) H₁ va H₂ gipotezalarning ro’y bermasligi ma’lum bo’ladi.

H₃ va H₄ gipotezalarning tajribadan keying ehtimolliklari Beyes formulasiga ko’ra quyidagicha:



Demak, nishonga tekkan o’qning birinchi merganga tegishli bo’lish ehtimolligi ekan.
O’z-o’zini tekshirish uchun savollar

1. 
   Birgalikda bo’lmagan hodisalar yig’indisining ehtimolligi nimaga teng?
   
2. 
   Birgalikdagi hodisalar ehtimolliklarining yig’indisi nimaga teng?
   
3. 
   Bog’liq va bog’liq bo’lmagan hodisalarni ta’rifini ayting.
   
4. 
   Bog’liqmas hodisalar ko’paytmasining ehtimolligi nimaga teng?
   
5. 
   Shartli ehtimollik nima?
   
6. 
   Bog’liq hodisalar ko’paytmasining ehtimolligi qanday topiladi?
   
7. 
   Hodisalardan faqat bittasining ro’y berish ehtimolligi qanday hisoblanadi?
   
8. 
   Hodisalardan kamida bittasining ro’y berish ehtimolligi qanday hisoblanadi?
   
9. 
   To’la ehtimollikni hisoblashda masalaning qo’yilishini bayon qiling.
   
10. 
    To’la ehtimollikni hisoblash formulasini keltirib chiqaring.
    
11. 
    Beyes formulasida masalaning qo’yilishini bayon qiling.
    
12. 
    Gipotezalar ehtimolligini hisoblash uchun Beyes formulasini keltirib chiqaring.
    

Mustaqil yechish uchun mashqlar

1. 
   Qutida 4 tasi standart bo’lgan 10 ta detal tartibsiz joylashgan. Nazoratchi tavakkaliga 3 ta detalni oldi, olingan detallarning hech bo’lmaganda bittasi standart bo’lishi ehtimolligini toping. Javob:
   
2. 
   Qutida 10 ta oq, 15 ta qora, 20 ta ko’k, 25 ta qizil shar bor. Olingan shar oq, qora yoki qizil bo’lishi ehtimolligini toping. Javob: