8-ma’ruza. Mavzu: Signal yetakchi garmonikalarini ajratish algoritmi. Spektral tahlil Reja: Umumiy tushunchalar

Furye trigonometrik qatori asosida spektral tahlil
Купгина холларда оддий функциялар сифатида тригонометрик функциялар - синус ва косинуслар ишлатилади. Бу холда Фурье катори тригонометрик дейилади.
Даврий f(x) функциянинг Фурье тригонометрик катори куйидагича булади: бу ерда T функциянинг даври

S(t)= +

ω₁ параметр (асосий частота) маълум Т давр оркали тасвирланади:

Фурье коэффициентлари a_n, b_n лар ортогонал гармоник базис хоссаларини ишлатиб топиш мумкин

a_n = b_n =

a= AcosΦ, b= - AsinΦ,

Тригонометрик тенгликдан фойдаланилади:

Acos(ωt + )=A(cosΦ cos ωt- sinΦ sin ωt)=a cos ωt +b sin ωt

Юкоридагилардан амплитуда ва фазалар учун куйидагилар аникланади:

A_n= Φ_n=-arctg

Ушбу ифода Фурье коэффициентлари оркали амплитудали ва фазали спектрларни топиш имконини беради. Энди Фурье каторини ω_n=nω₁ куп частотали гармоник тебранишлар буйича спектриал ёйиш куринишида ёзиш мумкин

S(t)= +

nω₁ частотадаги гармоник тебранишлар n- гармоникалар дейилади.

2.7.6.Garmonik signal spektori


S(t)= Acos(ω₀t + ) –garmonik signalning spektri quyidagicha aniqlanadi:

S(jω) = dt =

Va nihoyat ba’zi almashtirishlarni amalga oshirish natijasida garmonik signal spektri uchun quyidagi ifodani olamiz:
S(jω) = Aπe^jφ δ(ω-ω₀) + Aπe^-jφδ(ω-ω₀).
Garmonik signal spektri ikkita ± ω₀ chastotalarda joylashgan ma’lum qiymatli δ-funksiyadan iborat bo’ladi. δ-funksiya qiymati garmonik signal kompleks amplitudasini aks ettiradi.
Furye almashtirish bu – ma’lum bir chastota mos har bir sinusoidaning amplutada va fazasini tavsiflovchi funksiyadir. Amplituda egri chiziqning balandligi, faza esa sinusoidaning boshlang’ich nuqtasini o’zida aks ettiradi. Bu yangi funksiya bo’lib, berilgan funksiyani elementar tashkil etuvchilarga yoyilgandagi koeffitsent (amplitude) larni ifodalaydi, ya’ni turli chastotali garmonik tebranishlarni. Haqiqiy o’zgaruvchili f funksiyaning Furye almashtirishi integral ko’rinishida bo’lib, u quyida ko’rinish ifodalanadi:
ŷ (ω) = (1)

Furye almashtirishi formulasi L® sinfidagi funksiyalar uchun tushunarli ma’noga bo’lsada, biroq bundan tashqari Furye almashtirishidan funksiyalarining kengroq sinfi va hattoki umumlashgan funksiyalarda ham foydalanish mumkin. Bu Furye almashtirishining quyidagi qator xususiyatlari bilan bog’liq:

Furye almashtirishi chiziqli operatordir, ya’ni:
(αy + βg)=αŷ +βĝ (2)

Parseval tengligi o’rinli bo’ladi: Agar f bo’lsa, Furye almashtirishi –

normani saqlaydi
² dx = ² dω (3)
Bu xususiyat Furye almashtishini butun (R)fazoga uzluksiz qo’llash imkonini beradi. Bunda Parseval tengligi barcha f uchun o’rinli bo’ladi:
y(ω) =

Algoritm:

1. Qandaydir k dan yuqori bulgan amplitudnali spektrlarning global cho’qqisini aniqlash.
1.1 Agar topilmasa, tugatish.
2. Geterodin chastotalarni uzgartirish orkali , chastotaning kiymati topiladi, unda chastotalar chukkisi atrofida maksimal darajada maxalliy signal shovqin nisbatiga erishiladi.
3. Zarurat bulsa amplituda va faza kiymatlarini yaxlitlab olish.
4. Signaldan topilgan chastota, amplituda va fazali garmonikalarni ajratib olish.
5. 1 punktga kaytish.