8-mavzu: Birinchi va ikkinchi muhim limitlar. Funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi

3. funksiyani x=1 nuqtada uzluksizlukka tekshiring. Uzluksizlikka ega bo‘lgan holda x=1 nuqtadagi xarakterini aniqlang.
Yechish. funksiya x=1 nuqtada aniqlanmagan. Demak bu nuqtada uzilishga ega. Funksiya limitini hisoblaymiz:
,
ya’ni chekli limit mavjud, demak x=1 bartaraf qilinadigan 1-tur uzilish nuqtasi. Funksiyani x=1 nuqtada aniqlanishini to`ldirib, ya`ni f(1)=0 deb faraz qilib,

funksiyani hosil qilamiz. Bu funksiya x=1 nuqtada uzluksiz.
4. funksiyani uzluksizligini tekshiring.
Yechish.
Bundan ko‘rinadiki,

x = 0 nuqtada funksiya aniqlanmagan bolib,

munosabat o`rinli. Demak, x = 0 nuqta f(x) funksiya uchun ikkinchi tur uzilish nuqtasi x = 0 nuqtada funksiya aniqlanmagan bolib,

munosabat o‘rinli.
Demak, x = 0 nuqta f(x) funksiya uchun ikkinchi tur uzilish nuqtasi.

5. 
   Berilgan funksiyani uzilish nuqtalarini toping. Ularning grafigini chizing
   

nuqtada funksiya birinchi tur uzilishga ega.
6. funksiya [–1,1] intervalda uzluksizligini isbotlang.
Yechish. Agar bo‘lsa, u holda

.
Demak, ta’rifga asosan uchun funksiya uzluksiz. Undan tashqari,
va ,
demak, funksiya –1 da chapan va 1 da o‘ngdan uzluksiz. Shuning uchun funksiya [–1,1] segmantda ta’rif bo‘yicha uzluksiz bo‘ladi.³
Berilgan funksiyaning grafigi kuyidagicha:



Keltirilgan rasmlarda uzluksiz funksiya – (a) va uzilishga ega funksiyalar –(b), (c) va (d) tasvirlangan.
3. Uzluksiz funksiyalar ustida arifmetik amallar. Murakkab funksiyaning uzluksizligi
Faraz qilaylik, va funksiyalar to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqtada uzluksiz bo‘lsin. U holda
, , va
funksiyalar ham nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Aytaylik, funksiya to‘plamda, funksiya esa to‘plamda aniqlagan bo‘lib, ular yordamida murakkab funksiya tuzilgan bo‘lsin.
Agar funksiya nuqtada, funksiya mos  nuqtada uzluksiz bo‘lsa, y holda murakkab funksiya nuqtada uzluksiz bo‘ladi.