8-mavzu: Birinchi va ikkinchi muhim limitlar. Funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi

4. Uzluksiz funksiyalarning asosiy hossalari

Uzluksiz funksiyalar qator hossalarga ega. Ular teoremalar orqali ifodalanadi.

1-teorema (Boltsano-Koshi teoremasi). Agar  funksiya  segmentda uzluksiz bo‘lib, uning va nuqtalardagi qiymatlari va qarama-qarshi ishorali bo‘lsa u holda shunday nuqta topiladiki, bo‘ladi.
Bu teoremadan teglamalarning yechimi mavjudligi aniqlash va ularning taqribiy yechimini topishda foydalanish mumkin.
2-teorema. Agar funksiya segmentda uzluksiz bo‘lsa, funksiya shu segmentda chegaralangan bo‘ladi.
3-teorema. Agar funksiya segmentda uzluksiz bo‘lsa, funksiya shu segmentda o‘z qiymatininganiq yuqori (quyi) chegarasiga erishadi, ya’ni da shunday va nuqtalar topiladiki, da , bo‘ladi.

5. Funksiya uzluksizligi.
Harakat qilayotgan jism yo‘lning qandaydir bir nuqtasida yo‘q bo‘lib qolib, yana yo‘lning qayeridadir paydo bo‘lib o‘z harakatini davom ettirishi mumkin emas. SHunday qilib biz, yo‘lni uzilishga ega bo‘lmagan chiziq, ya’ni, bo‘shliqlarsiz, hech bir chuqurlarsiz uzluksiz deb qabul qilamiz.
Ushbu bo‘limda, «silliq chiziq» tushunchasining aniq matematik ta’rifini beramiz va uzluksiz funksiyalarning asosiy xossalarini beramiz.
ko‘phad va c – haqiqiy son uchun bo‘lishini eslatib o‘tamiz (1 rasmga qarang).

1-rasm. x→c bo‘lganda, ko‘phad limiti.
3 teoremadan foydalanib, funksiyalarning turli kombinatsiyalari uchun limitlarni hisoblashimiz mumkin. YA’ni, funksiyalarning shunday misollarini ko‘rinadiki, , shart, aniqlangan va c nuqtani o‘z ichiga oluvchi har bir intervalda bajariladi. Bu holda funksiiyaning qiymati, c ga etarlicha yaqin x lar tanlanganda ga juda yaqin bo‘lishi kafolatlanadi.
Boshqa tomondan ko‘rdikki, ba’zi funksiyalar uchun bu xusu3siyat bajilmas ekan. Masalan, quyidagi funksiya

uchun tenglik bajarilmaydi, chunki, mavjud emas (2 rasm).

2-rasm. funksiya grafigi.
Uzluksizlik tushunchasi kerakli holatlarni bayon qilish uchun, oddiy baholash yordamida funksiya limitini hisoblashda foydalaniladi.
3-ta’rif. Uzluksizlik.
Agar f funksiya uchun nuqtada, quyidagi shartlar bajarilsa:

1. 
   aniqlangan,
   
2. 
   limit mavjud,
   
3. 
   
   

u shu nuqtada uzluksiz deyiladi.
Agar bu shartlardan biri yoki bir nechtasi bajarilmasa, u holda f funksiya uchun nuqtada uzilishga ega deyiladi. 3.23 rasmda tasvirlangan har bir funksiya nuqtada uzilishga ega.⁴
3a rasmdagi funksiya nuqtada aniqlanmagan, ta’rifdagi birinchi shart buzilyapti. 3b va 3c rasmlarda mavjud emas, ta’rifdagi ikkinchi shart buzilyapti. 3d rasmda funksiya nuqtada aniqlangan va mavjud, ammo, bu ikki qiymat teng emas, ta’rifdagi uchunchi shart buzilyapti.

3-rasm. Funksiya uchun uzluksizlik bo‘lmagan hollarning har xili tasvirlangan
Bu grafiklardan biz, funksiya qaerda uzilishga ega va qaerda uzluksiz bo‘lishi huqida geometrik, intuitiv tasavvurlarimizni rivojlantiramiz.
Izox. SHuni ta’kidlash kerakki, 3 ta’rifdagi uchinchi shart, dastlabki ikki shartdan kelib chiqadi, chunki, tenglik chapdagi limitning mavjudligidan ifoda esa, o‘ngdagi qiymat aniqlangan va chekliligini va ikkala tomon tengligini bildiradi. SHuning uchun, agar funksiya uchun uzluksizligini tekshirmoqchi bo‘lsak, faqat uchinchi shart to‘g‘riligini tekshirish etarli bo‘lar ekan.
1-misol. Uzluksizlik.
Quyidagi funksiyalar nuqtada uzluksiz bo‘lishini aniqlang.