8-mavzu: Birinchi va ikkinchi muhim limitlar. Funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi

Yechish.
1)

2. Funksiyaning uzluksizligi
Aytaylik, funksiya X to‘plamda berilgan, va nuqtaning ihtiyoriy atrofida X to‘plamning dan farqli nuqtalari bo‘lsin.
Faraz qilaylik, nuqta ham to‘plamga tegishli bo‘lsin. Odatda, ni argument orttirmasi deyiladi. Ushbu ayirma funksiyaning nuqtadagi orttirmasi deyilib,uni yoki kabi belgilanadi:

Ta’rif . Agar

bo‘lsa, funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi.
Funksiya uzluksizligi quyidagicha ham ta’riflansa bo‘ladi.
Ta’rif. Agar har qanday son olinganda ham shunday son topilsaki, argument ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida tengsizlik bajarilsa, funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi.
Ushbu ta’rif bo‘yicha x a ga yaqinlashganda f(x) f(a) ga yaqinlashadi. Demak, uzluksiz funksiyalar kuyidagi xossaga ega: x argument kichik o‘zgarsa, u holda f(x) funksiya ham kichik o‘zgaradi.
Agar f funksiya a nuqta atrofida aniqlangan bo‘lsa (boshqacha aytganda, f funksiya a nuqtaning ushbu nuqtaning o‘z ichiga olgan ochiq intervalda aniqlangan, undan tasqari funksiya a nuqtada aniqlanmagan bo‘lishi mumkin), f funksiya a nuqtada o‘zilishga ega deb ataladi.²
Ta’rif. Agar funksiya X to‘plamning har bir nuqtasida uzluksiz bo‘lsa, funksiya X to‘plamda uzluksiz deyiladi.
Ma’lumki,  funksiya nuqtada uzluksiz bo‘lishi uchun:
1) uniug shu nuqta atrofida aniqlangan bo‘lishi,
2) nuqtada o‘ng va chap limitlarga ega bo‘lib,

bo‘lishi lozim.
Agar funksiya nuqtada 1) va 2) shartlarda hech bo‘maganda birini bajarmasa, u holda funksiya nuqtada uzilishga ega deyiladi.
Misollar. 1. Ushbu funksiya nuqtada uzilishga ega, chunki bu nuqtada birinchi shart bajarilmaydi.
2. Ushbu

funksiya nuqtada uzilishga ega bo‘ladi, chunki

bo‘lib, ikkinchi shart bajarilmaydi.