8-mavzu. Sharli tegirmonda kukunlash nazariyasi

x² + y ² – 2R x sin α + 2R u cos α = 0 . (10)

9. 
   formulaga (6) formuladagi u qiymatni qo‘ysak va quyidagini e’tiborga olsak:
   

y ² = x² tg² α – 2x tg α x² / 2R cos² α + x⁴ / 4R² cos⁶ α , (11)
Ikki sonning ayirmasi kvadrati bo‘yicha quyidagini olamiz:
x² + x² tg² α – 2x³ tg α / 2R cos³ α + x⁴ / 4R² cos⁶ α –
– 2Rx sin α + 2Rx cos α· tg α – 2Rx² cos α / 2R cos³ α = 0 . (12)
O‘xshash a’zolarni qisqartirish va o‘zgartirishdan so‘ng, quyidagiga ega bo‘lamiz:


x³ / R cos⁴ α · (x / 4R cos² α – sin α) = 0 . (13)
A nuqtada tegishli kesishadigan aylanma va parabolik traektoriyalar,
ya’ni kordinat boshlanishida X₁ = X₂ = X₃ negizlar 0 ga teng bo‘ladi.
Quyidagi tenglamani yechish qoladi.
X_v/ 4R cos² α – sin α = 0 . (14)
Tegishli V nuqta abssissasida (nuqtaning tekislikdagi yoki fazodagi
vaziyatini aniqlovchi koordinatalardan biri) aylanma traektoriya yuzasi bo‘ylab shar tushishi to‘rtinchi negiz X_V qiymatini (14) tenglama bo‘yicha aniqlaymiz:
X_V = 4R sin α ·cos² α . (15)

(6) formulaga abssissa uchun olingan qiymatni qo‘yib, quyidagini topamiz:

YV = 4R sin α · cos2 α tg α – 16 R2 sin2 α cos4 α / 2R cos3 α , (16)


YV = 4R sin α · cos α – 8 R sin2 α cos α
Y_V = – 4R sin² α cos α . (17)

Minus belgisi, Y_V ordinatasi (nuqtaning tekislikdagi yoki fazodagi vaziyatini ko‘rsatuvchi koordinatalardan biri) abssissa o‘qidan pastga yo‘naltirilganligini ko‘rsatadi.

(15) va (17) formulalar V nuqta tushish o‘rnini aniq aniqlash imkoniyatini beradi.

Ma’lumki, uzilish burchagi α kattaligi o‘zgarishi bilan A va V nuqtalarning o‘rni o‘zgaradi hamda har bir qatordagi shar o‘zining parabolik traektoriyasiga ega bo‘ladi.

V nuqta koordinatini OX₁ va OY₁ o‘qlari bo‘yicha aloqasini, lekin boshlanishi aylanma radius R markazi O bilan avvalgidek parallel aniqlaymiz.

1-rasm bo‘yicha quyidagini topamiz:
X1 = XV – R sin α = 4R sin α · cos^2 α – R sin α ,	(18)
Y1 = YV – R cos α = 4R sin^2 α · cos α – R cos α ,	(19)

(19) formuladagi Y_V qiymatning minus belgisini olib tashlaymiz, modomiki Y₁ va Y_V qiymatlari bir xil xuddi shu yo‘nalishda o‘lchanadi va quyidagini olamiz:

sin β = Y₁ / R = 4R sin² α · cos α – R cos α / R . (20)


sin² α ni 1–cos² α orqali almashtirib va radius R ni qisqartirib, quyidagini olamiz:


sin β = 4 cos α (1 – cos² α) – cos α = 4 cos α – 4 cos³ α – cos α =

= – (4 cos^3 α – 3 cos α) .

(21)

Trigonometriyadan ma’lumki, 4 cos³ α – 3 cos α = cos 3 α ga teng.
Shunday qilib, ma’lumki
sin β = – cos 3 α = cos (180 – 3 α) .
cos (90 – β) orqali sin β ni almashtirsak, cos (90 – β) = cos (180 – 3 α)
ni olamiz va qaerdan 90 – β = 180 – 3 α tamomila quyidagicha bo‘ladi:


β= 3 α – 90 . (22)

Shunday qilib, ma’lum bo‘lgan A nuqta uzilishida V tushish nuqtani topish uchun yoki mos ravishda α burchakda gorizontal diametrdan pastda β = 3 α – 90 burchakni qoldirishimiz zarur.

1-rasmdagi N orqali sharning umumiy balandlikka ko‘tarilishi ko‘rsatilgan va u quyidagiga teng.
H= Y_V + h . (23)

Shar boshida o‘zining harakatini parabolik traektoriya bo‘yicha A nuqta uzilishidan so‘ng, balandlikka h qarab ko‘tariladi, shundan so‘ng xuddi shunday qiymatda tushadi.

Shunday qilib, shar tomonidan h qiymatga tushish vaqtida ega bo‘ladigan va shar ushbu balandlikka ko‘tarilishi uchun oldindan energiya sarflaydi. Binobarin, sharning zarb vaqtida hisoblab aniqlanadigan tushish balandligidan V nuqtada tushishi Y_V ga teng bo‘ladi.

• 
  nuqta uzilishi va V nuqta tushishi berilgan qiymatlaridagi aylanishlar soni n sharning har bir qatlami uchun har xil bo‘ladi.
  

Shuningdek, α uzilish burchagi va β tushish burchagi kattaliklari har xil bo‘ladi.
Har bir sharli yuklanish qatlami uchun sharlarning uzilish nuqtasining geometrik o‘rnini aniqlaymiz.

• 
  burchak kattaligini aniqlaydigan n, R va cos α=4Rn² berilganda,
  

cos α ≥ υ²/gR va 4π²R²n²/gR ≤ cos α tenglamani quyidagi ko‘rinishda yozishimiz mumkin:
R / cos α = 1 / 4 n² . (24)
Aniqki, birinchi qism tenglamani ko‘rib chiqilish holatida doimiy kattalik mavjud. Uni 2ρ deb belgilaymiz, unda:
ρ = 1 / 8 n² (25)
va
R / cos α = 2ρ ; R = 2ρ cos α . (26)


R=2ρcosα ifoda qutb koordinatlariga olib borilgan aylanma tenglama hisoblanadi.