9- маъруза ноаниклик шароитида қарор қабул қилиш критериялари. Оптимал стратегияларни танлаш мезонари. Статистик уйинлар. Режа: Табиат билан (статистик)

Таваккал деб табиатнинг бирор Т_j ҳолатида I уйинчининг максимал ютуғидан у А_i стратегияни танлагандаги ютуғини айириш натижасига айтилади.
Жадвалнинг j-устундаги максимал ютуқни билан белгилаймиз, яъни =maxa_ij. Энди r_ij билан I ўйинчи табиатнинг Т_j ҳолатида А_i стратегияни танлагандаги таваккални белгилаймиз: r_ij= -a_ij. Равшанки r_ij0.
Тавакалларнинг R=(r_ij) матрицаси куп холларда ноаниклик вазиятини ютуқлар матрицасига нисбатан чукуррок англаб олиш имконини беради. Бу матрицанинг r_ij элементи табиат Т_j ҳолатида I уйинчининг А_i стратегиясининг кулайлиги ёки нокулайлигини ифодалайди.
2-мисол. 1-жадвалда келтирилган ютуқлар матрицасига мос таваккаллар матрицасини тузиш талаб килинади.
(j=1,2,3) максимал ютуқларни топамиз: =max(250,200,100)=250, ₂=max(200,230,240)=240, ₃=max(100,120,260)=260. Таваккаллар матрицаси элементларини ҳисоблаймиз:
r₁₁= ₁–а₁₁=250–250=0, r₁₂= ₂–а₁₂=240–200=40,
r₁₃= ₃–а₁₃=260–100=160, r₂₁= ₁–а₂₁=250–200=50
ва хоказо. Нихоят, 2-жадвалдаги таваккаллар матрицасини ҳосил киламиз.


2-жадвал

Т I	T1	T2	T3
A1	0	40	160
A2	50	10	140
A3	150	0	0

2. Статистик уйинларда оптимал карор кабул килиш
мезонлари

Тажриба килмасдан статистик уйинларда карор кабул килиш мезонларини караб чикамиз.

Табиат ҳолатларининг маълум эҳтимолларига асосланган мезон. Баъзи холларда статистик уйинлардаги ноаниклик вазиятларини бирмунча сусайтиришга муваффак булинади. Бунга статистик кузатиш маълумотлари асосида табиат ҳолатлари эҳтимолларини топиш йули билан эришилади.
Фараз килайликки, табиат ҳолатлари эҳтимоллари берилган бўлсин: P(T₁)=Q₁, P(T₂)=Q₂,...,P(T_n)=Q_n, бу ерда .У вақтда I уйинчи максималлаштиришга интиладиган ютуқнинг ўртача қиймати (математик кутилмаси)
=a_i1Q₁+a_i2Q₂+...+a_inQ_{n ,} i=1,2,...,m, (1)
бўлади. Оптимал стратегия сифатида A_i стратегиялардан шундайи танланадики, унга ўртача ютуқларнинг максимал қиймати мос келади:
(2)
Табиат ҳолатлари эҳтимоллари маълум булганда оптимал стратегияни таваккаллар курсаткичидан фойдаланиб хам топиш мумкин. Бу ҳолда дастлаб таваккалларнинг ўртача қийматлари ҳисобланади:
=r_i1Q₁+r_i2Q₂+...+r_inQ_i=1,2,...,m. (3)
Оптимал стратегия сифатида таваккаллар ўртача қийматларининг минимумини таъминлайдигани танлаб олинади:
.
Юкорида келтирилган ютуқка ва таваккалга асосланган мезонлар ўйинга кўлланганда бир хил натижага олиб келади. Хакикатдан хам, (1), (3) формулаларга кўра ҳамда қийматларни ҳисоблаймиз ва уларни кушамиз: r_ij= -a_ij эканлигидан келиб чикади. Муайян матрица учун ушбу йигинди узгармасдир:
_i+ =c, с=
Охирги ифодадан нинг максимал булиши нинг минимал булишига олиб келиши куриниб турибди. Бинобарин, ўртача ютуқ мезонини максималлаштириш йули билан топилган оптимал стратегия ўртача таваккал мезонини минималлаштириш йули билан топилган оптимал стратегиянинг узи бўлади.
Яна бир мухим коида шуки, агар табиат ҳолатлари эҳтимоллари Q₁,Q₂,...,Q_nлар маълум бўлса, I уйинчининг аралаш стратегиялардан фойдаланишига хожат колмайди. Хакикатан хам, агар I уйинчи p=(p₁,p₂,...,p_n) аралаш стратергияни кулласа унинг табиат ҳолатлари буйича ўртачалаштирилган ютуғи
(4)
бўлади. Лекин, . Бундан келиб чикадики, табиат билан уйинда хар кандай р аралаш стратегиядан фойдаланиш I уйинчи учун оптимал соф стратегияни куллашидан афзалрок була олмайди.
3-мисол. Об-хаво шароитининг эҳтимолий характеристикалари: ёгингарчилик нормадан кам булиши эҳтимоли Q₁=0,3; ёгингарчилик нормадагидек булиши эҳтимоли Q₂=0,4; ёгингарчилик нормадан зиёд булиши эҳтимоли Q₃=0,3 маълум бўлса, 1-мисол (1-жадвалга каранг) асосида оптимал стратегия топилсин.
I уйинчи стратегияларидан хар бири учун ютуқларнинг ўртача қиймати , , бўлади. ютуқнинг максимал ўртача қиймати
а= .
Демак, масала ечимига кура оптимал стратегия бу А₃ стратегиядир (яъни картошкани курук ер участкасига экиш).
Биз статистик уйинларнинг объектив ҳисоблаб топилган табиат ҳолатлари эҳтимоллари асосида ечилишини куриб чикдик. Агар ҳолатлар объективлик бахоларини топиш мумкин булмаса, у вақтда табиат ҳолатлари эҳтимоллари субъектив тарзда куйидагича бахоланиши мумкин.