9-bob. Aniq integral

§ 9.3. Yoy uzunligini hisoblash.
1) To’g’ri burchakli Dekart koordinatalari sistemasida berilgan egri chiziq yoyining uzunligi [a;b] kesmada tenglama bilan berilgan. Egri chiziq uchun uzluksiz bo’lsa, u holda uning yoyi uzunligi (9.5 - chizma).
(9.18)
f ormula bilan hisoblanadi.

9.5 – chizma.

2) Agar egri chiziq ko’rinishda berilsa, yoyi uzunligi

(9.19)
formula bilan hisoblanadi.
3) Agar egri chiziq ko’rinishda berilgan bo’lib, uzuliksiz funksiyalar bo’lsa, u holda egri chiziq yoyining uzunligi
(9.20)
formula bilan hisoblanadi.
4) Qutb koordinatalar sistemasida berilgan silliq egri chiziq yoyining uzunligi
(9.21)
formula bilan hisoblanadi.
Quyidagi egri chiziqlarning yoy uzunligini toping.
9.143 а) в) egri chiziqning uzunligi
9.144 а) в) egri chiziqning uzunligi
9.145 egri chiziqning to’g’ri chiziq bilan kesilgan qismining uzunligi
9.146 sikloida bir davrining uzunligi
9.148 egri chiziq koordinata o’qlari bilan nuqtalari orasidagi qismining uzunligi
9.148 egri chiziqning OX o’q kesgan bo’lagining uzunligi.
9.149 egri chiziqning to’g’ri chiziqlar orasidagi qismining uzunligi
9.150 ning dan gacha bo’lgan qismining uzunligi
9.151 egri chiziqning OY va OX o’qlar kesishgan ikki qo’shni nuqtalari orasidagi qismining uzunligi
9.152. chiziqni dan bo’lgan oraliqda.
9.153. chiziqni dan bo’lgan oraliqda.
9.154. chiziqni dan bo’lgan oraliqda.
9.155 chiziqni dan bo’lgan oraliqda.
§ 9.4. Aylanma jism sirtining yuzi ва hajmlarni hisoblash
1) Faraz qilaylik, va funksiyalar [a;b] kesmada uzluksiz bo’lsin, hamda AB chiziq funksiyani grafigi bo’lsin. U holda AB egri chiziqning Ox o’q atrofida aylanishidan hosil bo’lgan sirtining yuzi (9.6 - chizma)
(9.22)
formula bilan hisoblanadi.
2) Agar silliq chiziq parametrik ko’rinishda berilgan bo’lsa, sirt yuzi
(9.23)
formula bilan hisoblanadi.
3) Silliq egri chiziq qutb koordinatalar sistemasida ko’rinishda berilgan bo’lsa, uning qutb o’qi atrofida aylanishidan hosil bo’lgan jism sirtining yuzi
(9.24)
formula bilan hisoblanadi.