Abstrakt algebra

Qism halqa va ideallar

Ushbu mavzuda gruppalar nazariyasidan ma’lum bo‘lgan qism gruppa va nor- mal bo‘luvchi tushunchalarining halqalar nazariyasidagi analogi hisoblangan qism halqalar va ideallar tushunchalari haqida gaplashamiz.

·
5.2.1-ta’rif. Bizga (R, +, ) halqa va uning R^′ qism to‘plami berilgan bo‘lsin. Agar R^′ to‘plam, R da aniqlangan amallarga nisbatan halqa tashkil qilsa, u holda (R^′, +, ·) halqaga (R, +, ·) halqaning qism halqasi deb ataladi. Boshqacha ayt- ganda, agar R^′ to‘plam (R, +) gruppaning qism gruppasi bo‘lib, ∀x, y ∈ R^′ uchun x · y ∈ R^′ shart bajarilsa, u holda (R^′, +, ·) qism halqa deyiladi.
Berilgan maydonning qism maydoni tushunchasi ham, qism halqa ta’rifi kabi aniqlanadi, ya’ni agar (F, +, ·) maydonning F ^′ qism to‘plami ham F da aniqlangan amallarga nisbatan maydon tashkil qilsa, u holda (F ^′, +, ·) qism maydon deyiladi.
Ushbu teorema halqaning berilgan qism to‘plamini qism halqa bo‘lishining zaruriy va yetarlilik shartini ifodalaydi.
5.2.1-teorema. (R, +, ·) halqaning R^′ qism to‘plami qism halqa bo‘lishi uchun quyidagi shartlarning bajarilishi zarur va yetarli:
∀x, y ∈ R, uchun x − y ∈ R va x · y ∈ R.

′
Isbot. Agar (R^′, +, ·) qism halqa bo‘lsa, u holda ∀x, y ∈ R^′ uchun x−y ∈ R va x · y ∈ R bo‘lishi ravshan. Va aksincha agar, ∀x, y ∈ R^′ uchun x − y ∈ R bo‘lsa, u holda 1.3.1-teoremaga ko‘ra R to‘plam (R, +) gruppaning qism gruppasi bo‘ladi.
∀x, y ∈ R^′ uchun x · y ∈ R ekanligidan esa, (R^′, +, ·) qism halqa bo‘lishi kelib
chiqadi.