Abstrakt algebra

5.2.7-teorema. (R/I, +, ·) to‘plam halqa tashkil qiladi.
Isbot. Dastlab, R/I to‘plamda aniqlangan ko‘paytirish amalini to‘g‘ri aniqlanganligini isbotlaymiz. Ya’ni agar a + I = a^′ + I va b + I = b^′ + I bo‘lsa, u holda ab + I = a^′b^′ + I ekanligini ko‘rsatamiz. a^′ ∈ a^′ + I = a + I bo‘lganligi uchun, shunday x ∈ I element topilib, a^′ = a + x bo‘ladi. O‘z navbatida, b^′ ∈ b + I bo‘lganligi uchun qandaydir y ∈ I element uchun b^′ = b + y. U holda
a^′b^′ = (a + x)(b + y) = ab + ay + xb + xb.
Bundan esa a^′b^′ − ab = ay + xb + xb ∈ I ekanligi kelib chiqadi, ya’ni
ab + I = a^′b^′ + I.
R/I to‘plamda ko‘paytirish amaliga nisbatan assosiativlikning o‘rinli bo‘lishi va destributivlik shartining bajarilishi esa ko‘paytmaning aniqlanishidan va 5.2.6- teoremadan bevosita kelib chiqadi.
Yuqorida aniqlangan (R/I, +, ·) halqaga R halqaning I ideali bo‘yicha faktor
halqasi deb ataladi. Masalan, Z butun sonlar halqasining I = nZ ideali bo‘yicha faktor halqasi
Z/nZ = {nZ, 1 + nZ, . . . , n − 1 + nZ}
sinflardan iborat bo‘ladi.
5.2.4-misol. Agar R halqaning ixtiyoriy a ∈ R elementi uchun a² + a ∈ C(R)
bo‘lsa, u holda halqaning kommutativ ekanligini isbotlang.


Yechish. Aytaylik, a, b ∈ R bo‘lsin, u holda a² + a, b² + b ∈ C(R). Ikkinchi tomondan esa, (a + b)² + a + b ∈ C(R), ya’ni a² + ab + ba + b² + a + b ∈ C(R). Bu munosabatdan esa, ab + ba ∈ C(R) ekanligi kelib chiqadi. Demak, a(ab + ba) = (ab + ba)a, ya’ni a²b = ba². Bu esa a² ∈ C(R) ekanligini bildiradi. a² + a ∈ C(R) ekanligidan esa a ∈ C(R) kelib chiqadi. Shunday qilib, biz R halqaning ixtiyoriy a ∈ R elementi uning markazida yotishini ko‘rsatdik. Demak, R kommutativ halqa. Q
5.2.5-misol. M₂(R) halqa sodda halqa ekanligini ko‘rsating.


1 0
Yechish. Aytaylik, M₂(R) halqaning qandaydir notrivial J ideali mavjud

bo‘lsin. U holda noldan farqli A = ^{a b}

c d
va C = ^{0 1} matritsalarni qarasak, 0 0
∈ J element mavjud. B = ^{0 0}

d 0

0 0

0 0
AB = ^{b 0} , CD = ^{c d} , CAB = ^{d 0} .






Ma’lumki, J ideal bo‘lganligi uchun AB, CA, CAB ∈ J. Bundan esa, a, b, c, d sonlarining hech bo‘lmaganda bittasi noldan farqli bo‘lganligi uchun har doim a =/ 0 deb olish mumkinligi kelib chiqadi. U holda

1 0 a b
0 0 c d
bo‘lib, bundan esa
a⁻¹ 0 1 0
0 0 ⁼ 0 0 ^{∈ J}

0 0

0 0

0 0

1 0

0 0

0 1



_{1 0 0 1} = _{0 1} , _{0 0 0 1} = _{0 0}


elementlarning ham J idealga tegishli ekanligi kelib chiqadi. Demak,

0 1

0 0

0 1
E = _{1 0} = _{1 0} + _{0 0} ∈ J


kelib chiqadi. Bu esa J = M₂(R) ekanligini bildiradi. Ya’ni, M₂(R) halqa sodda emas. Q

1. Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

   1. 
      Butun sonlar halqasining quyidagi qism to‘plamlarining qaysilari qism halqa tashkil qilishini aniqlang:
      
      • 
        4Z.
        

• 
  4Z + 1.
  
• 
  5Z + 2.
  
• 
  4Z + 2.
  
1. 
   Quyidagi halqalarning barcha qism halqalarini aniqlang:
   

Z₁₂, Z₁₅, Z₁₆, Z₂₀, Z₃₀, Z.

3. 
   Quyidagi to‘plamlarni M₂(R) matritsalar halqasining qism halqalari ekanli- gini ko‘rsating:
   

• 
  A₁
  

₌ a b

(
0 c
! | a, b, c ∈ R) .

• 
  A₂
  

₌ a b

(

(
−b a
! | a, b ∈ R) .

• 
  A₃
  

₌ a b
0 a
! | a, b ∈ R) .

• 
  A₄
  

a

(

3 a

(
⁼ −b√
^b√³ ! | a, b ∈ Q) .

• 
  A₅
  

₌ a + b b
−b a
! | a, b ∈ Z) .

4. 
   Agar R biri bor halqa bo‘lsa, u holda T = {n1 | n ∈ Z} to‘plam qism halqa bo‘lishini isbotlang.
   
5. 
   R halqaning T = {a ∈ R | na = 0} qism to‘plami qism halqa bo‘lishini ko‘rsating.
   
6. 
   Agar a ∈ R element halqaning idempotent elementi bo‘lsa, u holda aRa
   

to‘plam qism halqa bo‘lishini isbotlang.

7. 
   Z[x] ko‘phadlar halqasining ozod hadi juft butun sonlardan iborat bo‘lgan qism halqasi ideal bo‘lib, bosh ideal bo‘lmasligini ko‘rsating.
   
8. 
   Quyidagi halqalarning qism to‘plamlari ideal bo‘lishini ko‘rsating:
   
   • 
     R = Z₂₄, I = {0, 8, 16}.
     
   • 
     
     √ √
     R = Z₂₈, I = {0, 7, 14, 21}.
     
   • 
     R = Z[ 7], I = {a + b 7 | a, b ∈ Z, a − b juft son}.
     

• 
  
  0 c
  
  0 c
  R = ( ^{a b} ! | a, b, c ∈ Z) , I = ( ^{0 b} ! | a ∈ Z) .
  
• 
  
  0 c
  
  0 0
  R = ( ^{a b} ! | a, b, c ∈ Z) , I = ( ^{0 a} ! | a ∈ Z) .
  

9. 
   Yuqoridagi misollardagi halqalarning berilgan ideali bo‘yicha faktor halqa- larini aniqlang.
   

10. 
    
    (
    R = ^{a b}
    

0 c
! | a, b, c ∈ Z) halqaning barcha ideallarini aniqlang.

11. 
    Aytaylik,
    

^__ ^a11 ^a12 ^a13 _ ^_

R = 0 a a
0 0 a₃₃
^_ 0 b c ^_
^_ ^_^_ 0 x 2y ^_
_

_^ 22 23



_ | a_ij ∈ Z_ ,
I = _ 0 0 2d _ | b, c, d ∈ Z
, J = 0 0 2z | x, y, z ∈ Z


^ 0 0 0
_ _
0 0 0 ^

bo‘lsin. U holda I to‘plam R da ideal, J to‘plam esa I da ideal bo‘lishini, lekin J to‘plam R da ideal bo‘lmasligini ko‘rsating.

12. 
    Quyidagi
    

^_ x −y z −t ^_ ^_



_
A =
_

25. 
    x −t z
    
26. 
    t x −y t −z y x
    

| x, y, z, t ∈ R ,
_

to‘plam (M₄(R), +, ·) halqaning qism halqasi ekanligini isbotlang.

13. 
    A = {x + ^√3 5y + ^√3 25z | x, y, z ∈ Q} to‘plam haqiqiy sonlar maydonining
    

qism maydoni ekanligini ko‘rsating.

14. 
    Aytaylik, α ∈ R soni ratsional koeffitsiyentli f (x) keltirilmas (ratsional sonlar maydoni ustida keltirilmas) ko‘phadning ildizi bo‘lsin. U holda
    

A = {x₀ + x₁α + x₂α² + · · · + x_n−1αⁿ⁻¹ | x_i ∈ Q}
to‘plam haqiqiy sonlar maydonining qism maydoni ekanligini isbotlang.

15. 
    Agar R halqaning A chap ideali va B o‘ng ideallari berilgan bo‘lsa, u holda
    

AB to‘plam R halqaning ikki yoqlama ideali bo‘lishini ko‘rsating.

16. 
    Kommutativ halqaning nilpotent elementlari to‘plami ideal bo‘lishini isbot- lang.
    
17. 
    R halqaning I₁ va I₂ ideallari birlashmasi I₁ ∪ I₂ ham ideal bo‘lishi uchun
    

I₁ ⊆ I₂ yoki I₂ ⊆ I₁ bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.

18. 
    R halqaning I va J ideallari uchun I +J ham ideal bo‘lishini va I +J = ⟨I ∪J⟩
    

ekanligini ko‘rsating.

19. 
    Quyidagi halqalarning berilgan I ideal bo‘yicha annulyatorlarini toping:
    
    • 
      R = Z₁₂, I = {0, 4, 8}.
      
    • 
      R = Z₁₅, I = {0, 5, 10}.
      
    • 
      R = Z₂₀, I = {0, 2, 4, . . . , 18}.
      
    • 
      R = Z[i] = {a + ib | a, b ∈ Z}, I = {a + bi | a, b ∈ 2Z}.
      
20. 
    Regulyar halqaning ixtiyoriy ideali regulyar ekanligini ko‘rsating.
    
21. 
    Z[i]/⟨2⟩ faktor halqani aniqlang va uni maydon emasligini ko‘rsating.
    
22. 
    Z[i]/⟨3⟩ faktor halqa maydon bo‘lishini isbotlang.
    
23. 
    Z[i]/⟨n⟩ faktor halqa maydon bo‘lishi uchun n tub son bo‘lib, uning ikkita butun sonlar kvadratlari yig‘indisi shaklida ifodalanmasligi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.
    

3.