Abstrakt algebra

5.3.3-teorema (izomorfizm haqidagi birinchi teorema). Agar f akslantirish
^{R halqani R′ halqaga o‘tkazuvchi gomomorfizm bo‘lsa, u holda R/Kerf ∼}= ^{f (R)}
bo‘ladi.
5.3.4-teorema (izomorfizm haqidagi ikkinchi teorema). R halqaning I va
^{J ideallari uchun I/(I ∩ J) ∼}= ^{(I + J)/J munosabat o‘rinli.}
5.3.5-teorema (izomorfizm haqidagi uchinchi teorema). R halqaning I va
J ideallari uchun I ⊆ J bo‘lsa, u holda
^{(R/I)/(J/I) ∼}= ^R/J.
Quyidagi teoremada esa gruppalar nazariyasidagi kabi halqalar uchun moslik teoremasini keltiramiz.

⊆
5.3.6-teorema (moslik teoremasi). Aytaylik, R halqani R^′ halqaga akslanti- ruvchi f epimorphizm berilgan bo‘lsin. U holda R halqaning Kerf I shartni qanoatlantiruvchi ideallari to‘plami bilan R^′ halqaning ideallari to‘plami orasida o‘zaro bir qiymatli moslik mavjud.

Endi ixtiyoriy halqani biri bor halqaga kengaytirish mumkinligini, ya’ni ixtiy- oriy halqa uchun shunday biri bor halqa topilib, bu halqalar orasida monomorfizm mavjudligini ko‘rsatamiz.

Bizga R halqa berilgan bo‘lsin. R^′ = R × Z to‘plamda
(x, a) + (y, b) = (x + y, a + b), (x, a) · (y, b) = (xy + ay + bx, ab)
amallarni qarasak, R^′ to‘plam ushbu amallarga nisbatan halqa tashkil qiladi. Ushbu halqa biri bor halqa bo‘lib, (0, 1) element uning birlik elementi bo‘ladi. Bundan tashqari, f (x) = (x, 0) kabi aniqlangan f : R → R × Z akslantirish monomorfizm bo‘ladi.


5.3.1-tasdiq. Agar R halqadan birlik elementli S halqaga ϕ gomomorfizm berilgan bo‘lsa, u holda ϕ = ψ ◦ f shartni qanoatlantiruvchi ψ : R × Z → S gomomorfizm mavjud, bu yerda f : R → R × Z bo‘lib, f (x) = (x, 0).
Isbot. ψ : R × Z → S akslantirishni ψ(x, a) = ϕ(x) + a1_S kabi aniqlaymiz, bu yerda 1_S element S halqaning birlik elementi. U holda ixtiyoriy x ∈ R uchun
(ψ ◦ f )(x) = ψ(f (x)) = ψ(x, 0) = ϕ(x)

tenglik o‘rinli, ya’ni ϕ = ψ ◦ f. Bundan tashqari ushbu akslantirish gomomorfizm bo‘ladi, chunki


ψ (x, a) + (y, b) = ψ(x + y, a + b) = ϕ(x + y) + (a + b)1_S =



= ϕ(x) + ϕ(y) + a1_S + b1_S = ψ(x, a) + ψ(y, b),
ψ (x, a) · (y, b) = ψ(xy + ay + bx, ab) = ϕ(xy + ay + bx) + (ab)1_S =
ϕ(x)ϕ(y) + aϕ(y) + bϕ(x) + ab1_S = (ϕ(x) + a1_S) · (ϕ(y) + b1_S) = ψ(x, a) · ψ(y, b).



5.3.5-misol. Xarakteristikasi nolga teng birlik elementli ixtiyoriy halqaning Z bu- tun sonlar halqasiga izomorf qism halqasi mavjud ekanligini isbotlang.
Yechich. Aytaylik, R xarakteristikasi noldan farqli birlik elementli halqa bo‘lsin. T = {n1 | n ∈ Z} to‘plamni qarasak, ushbu to‘plam R halqaning qism halqasi bo‘ladi. Chunki, a, b ∈ T elementlar uchun a = n1 va b = m1 bo‘lib,
a − b = n1 − m1 = (n − m)1, ab = (n1)(m1) = (nm)1.
Ya’ni a − b, ab ∈ T. Endi Z butun sonlar halqasidan T to‘plamga f (n) = n1 kabi aniqlangan f : Z → T akslantirishni qaraymiz. Bu akslantirish gomomorfizm

bo‘lib, u syurektivdir. Bundan tashqari R halqaning xarakteristikasi nolga teng ekanligini hisobga olsak,

f (n) = f (m) ⇒ n1 = m1 ⇒ (n − m)1 = 0 ⇒ n = m
munosabatlardan bu gomomorfizmning inyektivligi kelib chiqadi. Demak, f
izomorfizm. Q
5.3.6-misol. Ixtiyoriy p tub soni uchun elementlari soni p ta bo‘lgan halqalar izomorfizm aniqligida ikkita ekanligini isbotlang.
Yechish. Aytaylik, (R, +, ·) halqa p ta elementdan iborat bo‘lsin. Ma’lumki, p
ta elementli ixtiyoriy gruppa (Z_p, +_p) gruppaga izomorf. Agar (Z_p, +_p) gruppada
Ⓢ₁ va Ⓢ₂ ko‘paytmalarni quyidagicha aniqlasak,
a Ⓢ₁ b = 0, a Ⓢ₂ b = ab
u holda biz o‘zaro izomorf bo‘lmagan (Z_p, +_p, Ⓢ₁) va (Z_p, +_p, Ⓢ₂) halqalarga ega bo‘lamiz. Ya’ni birinchi halqa trivial ko‘paytmaga ega bo‘lgan halqa bo‘lsa, ikkinchi halqa esa, chegirmalar halqasidan iborat bo‘ladi.
Endi R halqani yuqoridagi ikkita halqadan biriga izomorf ekanligini ^{ko‘rsatamiz. (R, +) ∼}= ^{(Zp, +p) bo‘lganligi uchun, (R, +) gruppa additiv siklik} gruppa bo‘ladi. Aytaylik, (R, +, ·) halqa (Z_p, +_p, Ⓢ₁) halqaga izomorf bo‘lmasin.
U holda R halqada aniqlangan ko‘paytma trivial emas. Agar a ∈ R element
(R, +) additiv siklik gruppaning hosil qiluvchi elementi bo‘lsa, u holda R ning ixtiyoriy elementi ka ko‘rinishiga ega bo‘ladi. U holda a² = na tenglik o‘rinli, bu yerda n =/ 0. Endi mn ≡ 1(mod p) shartni qanoatlantiruvchi m soni uchun b = ma elementni qarasak,
b² = m²a² = m²na = ma = b
munosabatga ega bo‘lamiz. Ya’ni R halqada b² = b shartni qanoatlantiruvchi noldan farqli element mavjud. U holda f (n) = nb kabi aniqlangan f : Z_p → R akslantirish (Z_p, +_p, Ⓢ₂) halqadan (R, +, ·) halqaga bo‘lgan izomorfizm bo‘ladi. Chunki,
f (n + m) = (n + m)b = nb + mb = f (n) + f (m),
f (n Ⓢ₂ m) = f (nm) = (nm)b = (nm)b² = (nb) · (mb) = f (m) · f (n).
Q

1. Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

   1. 
      Z butun sonlar to‘plamida a ⊕ b = a + b − 1 va a Ⓢ b = a + b − ab kabi amal- lar aniqlangan bo‘lsin. (Z, ⊕, Ⓢ) halqa ekanligini ko‘rsating va uni (Z, +, ·) halqaga izomorf ekanligini isbotlang.
      

2. 
   R halqani R^′ halqaga o‘tkazuvchi barcha gomomorfizmlarni aniqlang:
   
   • 
     R = (Z₄, +₄, ·₄) va R^′ = (Z₆, +₆, ·₆).
     
   • 
     R = (Z₆, +₆, ·₆) va R^′ = (Z₁₀, +₁₀, ·₁₀).
     
   • 
     R = (Z, +, ·) va R^′ = (Z, +, ·).
     
   • 
     R = (Z, +, ·) va R^′ = (2Z, +, ·).
     
   • 
     R = (Z, +, ·) va R^′ = (Z₆, +₆, ·₆).
     
   • 
     R = (R, +, ·) va R^′ = (R, +, ·).
     
3. 
   Quyidagi halqalarning izomorf emasligini ko‘rsating:
   
   • 
     (R, +, ·) va (Q, +, ·).
     
   • 
     (R, +, ·) va (C, +, ·).
     
   • 
     (Z, +, ·) va (2Z, +, ·).
     
   • 
     (2Z, +, ·) va (3Z, +, ·).
     
   • 
     (Q^√2, +, ·) va (Q^√3, +, ·).
     
4. 
   R halqani R^′ halqaga o‘tkazuvchi emimorfizm mavjudmi?
   
   • 
     R = (Z, +, ·) va R^′ = (Z₅, +₅, ·₅).
     
   • 
     R = (Z₁₅, +₁₅, ·₁₅) va R^′ = (Z₅, +₅, ·₅).
     
   • 
     R = (Z₂₄, +₂₄, ·₂₄) va R^′ = (Z₇, +₇, ·₇).
     
   • 
     R = (Z₁₈, +₁₈, ·₁₈) va R^′ = (Z₈, +₈, ·₈).
     
5. 
   R halqani R^′ halqaga o‘tkazuvchi monomorfizm mavjudmi?
   
   • 
     R = (Z₈, +₈, ·₈) va R^′ = (Z, +, ·).
     
   • 
     R = (Z₅, +₅, ·₅) va R^′ = (Z₁₅, +₁₅, ·₁₅).
     
   • 
     R = (Z₆, +₆, ·₆) va R^′ = (Z₈, +₈, ·₈).
     
   • 
     R = (Z₁₂, +₁₂, ·₁₂) va R^′ = (Z₁₈, +₁₈, ·₁₈).
     
6. 
   Let T₂(Z) = , | a, b, c ∈ Z, va Z halqalar uchun f ( ) = a
   

0 c


0 c

a b a b
kabi aniqlangan f : T₂(Z) → Z akslantirishning gomomorfizm ekanligini
ko‘rsating va uning yadrosini toping.

7. 
   Agar R Bul halqasi {0} va R dan boshqa idealga ega bo‘lmasa, u holda
   

^{R ∼}= ^{Z2 ekanligini isbotlang.}

8. 
   Xarakteristikasi n(n > 0) ga teng biri bor ixtiyoriy halqaning Z_n halqaga izomorf qism halqasi mavjud ekanligini isbotlang.
   
9. 
   Kompleks sonlar maydonining haqiqiy sonlarni o‘zgarishsiz qoldiruvchi avto- morfizmlarini toping.
   

10. 
    
    (
    A = ^{a b}
    

−b a
! | a, b ∈ R) halqa va (C, +, ·) kompleks sonlar maydoni

berilgan bo‘lsin. f (a + ib) = ^{a b}
−b a
! akslantirish izomofizm ekanligini

(
ko‘rsating.

11. 
    A = ^{a b}
    

2b a
! | a, b ∈ Q) halqa B = {a +b^√2 | a, b ∈ Q} halqaga izomorf

ekanligini ko‘rsating.

12. 
    Quyidagi matritsalar halqalari izomorf bo‘ladimi?
    

^_ x −y z −t ^_




_
A =
_

25. 
    x −t z
    
26. 
    
    t x −y t −z y x
    

| x, y, z, t ∈ R ,
_

_{B =} u w



−w u
| u, w ∈ C .