Abstrakt algebra

5.6.3-teorema. Nyoter halqasining gomomorf obrazi ham Nyoter halqa bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, R Nyoter halqasi bo‘lib, f : R → S epimorfizm berilgan bo‘lsin. S halqaning
J₁ ⊂ J₂ ⊂ · · · ⊂ J_s ⊂ . . .
ideallardan iborat o‘suvchi zanjirini qarasak, ushbu ideallar uchun I_k = f ⁻¹(J_k) to‘plamlar R halqaning ideallari bo‘lib,
I₁ ⊂ I₂ ⊂ · · · ⊂ I_s ⊂ . . .
munosabat o‘rinli. R halqa Nyoter halqasi bo‘lganligi uchun shunday n soni topi- lib, I_n = I_n+1 = . . . . Bundan esa, f akslantirishning epimorfizm ekanligidan foy- dalansak, J_n = J_n+1 = . . . kelib chiqadi. Demak, S halqa ham Nyoter halqasi.


5.6.4-teorema. R halqaning I ideali berilgan bo‘lib, I va R/I halqalar Nyoter halqalari bo‘lsa, u holda R ham Nyoter halqasi bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, R halqaning
A₁ ⊂ A₂ ⊂ · · · ⊂ A_s ⊂ . . .
ideallardan iborat o‘suvchi zanjiri berilgan bo‘lsin. U holda ϕ : R → R/I tabiiy gomomorfizm uchun


ϕ(A₁) ⊂ ϕ(A₂) ⊂ · · · ⊂ ϕ(A_s) ⊂ . . .
ideallar R/I halqadagi o‘suvchi zanjir bo‘ladi. R/I halqa Nyoter halqasi bo‘lganligi uchun shunday n soni topilib, ϕ(A_n) = ϕ(A_n+1) = . . . .
Bundan tashqari, A₁ ∩ I ⊂ A₂ ∩ I ⊂ · · · ⊂ A_s ∩ I ⊂ . . . ideallar I Nyoter halqasining o‘suvchi zanjiri bo‘lib, shunday m soni uchun A_m∩I = A_m+1∩I = . . . .
U holda k = max{n, m} uchun ϕ(A_k) = ϕ(A_k+1) = . . . va A_k ∩ I = A_k+1 ∩ I = . . .
munosabatlar o‘rinli.
Biz endi, A_k = A_k+1 = . . . ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun A_k = A_k+1 tenglikni ko‘rsatish yetarli. Ixtiyoriy b ∈ A_k+1 element olsak, ϕ(A_k) = ϕ(A_k+1) bo‘lgani uchun c ∈ A_k element topilib, ϕ(b) = ϕ(c). Bundan esa, b + I = c + I ekanligi, ya’ni b − c ∈ I kelib chiqadi. Ikkinchi tomondan esa, b − c ∈ A_k+1 bo‘lganligi uchun b − c ∈ A_k+1 ∩ I = A_k ∩ I, ya’ni b − c ∈ A_k. Bu esa, b ∈ A_k ekanligini, ya’ni A_k = A_k+1 tenglik o‘rinliligini anglatadi. Demak, R halqa Nyoter halqasi.


5.6.1-natija. R₁ va R₂ Nyoter halqalarining to‘g‘ri yig‘indisi ham Nyoter halqasi bo‘ladi.


Isbot. R₁ ⊕ R₂ halqa uchun (R₁ ⊕ R₂)/R₁ faktor halqani qarasak, ^{(R1 ⊕ R2)/R1 ∼}= ^{R2 bo‘lib, R1 va R2 halqalar Nyoter halqalari bo‘lganligi uchun} 5.6.4-teoremaga ko‘ra R₁ ⊕ R₂ ham Nyoter halqasi ekanligi kelib chiqadi.
Ta’kidlash joizki, 5.6.1-natija chekli sondagi Nyoter halqalari uchun ham o‘rinli. Ya’ni R₁, R₂, . . . , R_n Nyoter halqalarining to‘g‘ri yig‘indisi R₁ ⊕ R₂ ⊕
· · · ⊕ R_n ham Nyoter halqasi bo‘ladi.
5.6.5-teorema. Agar R halqa kommutativ va birlik elementli Nyoter halqasi bo‘lsa, u holda R[x] ko‘phadlar halqasi ham Nyoter halqasi bo‘ladi.

⊂
Isbot. Teoremani isbotlash uchun R[x] halqadning ixtiyoriy A idealining hosil qiluvchi elementlari soni chekli ekanligini ko‘rsatamiz. A R[x] idealning darajasi n ga teng bo‘lgan ko‘phadlari xⁿ hadi oldidagi ko‘effitsiyentlaridan va noldan iborat to‘plamni I_n orqali belgilaymiz.
Ushbu I_n to‘plam R halqaning ideali bo‘ladi. Haqiqatdan ham, a, b ∈ I_n
bo‘lib, a 0, b /= 0 bo‘lsa, u holda shunday f (x), g(x) ∈ A ko‘phadlar topilib,
deg(f (x)) = deg(g(x)) = n va bu ko‘phadlarning xⁿ hadi oldidagi koeffitsiyentlari mos ravishda a va b ga teng. Agar a − b = 0 bo‘lsa, u holda a − b ∈ I_n. Agar
a − b 0 bo‘lsa, f (x) − g(x) ∈ A va deg(f (x) − g(x)) = n bo‘lganligi hamda
a − b element f (x) − g(x) ko‘phadning xⁿ hadi oldidagi koeffitsiyenti ekanligidan

n
a − b ∈ I_n kelib chiqadi. Endi, a ∈ I_n va r ∈ R elementlar uchun ar /= 0 bo‘lsa, u holda ushbu element rf (x) ko‘phadning x hadi oldidagi koeffitsiyenti bo‘lib, ar ∈ I_n bo‘ladi.
R halqaning ushbu I_n ideallari uchun I_n ⊂ I_n+1 munosabat o‘rinli. Chunki, a ∈ I_n bo‘lsa, u holda qandaydir f (x) = axⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + · · · + a_n−1x + a_n ∈ A ko‘phad mavjud bo‘lib, xf (x) = axⁿ⁺¹ + a₁xⁿ +· · · + a_n−1x² + a_nx ∈ A ekanligidan a ∈ I_n+1 kelib chiqadi. Shunday qilib, biz R halqaning ideallaridan iborat bo‘lgan
I₀ ⊂ I₁ ⊂ I₂ ⊂ · · · ⊂ I_n ⊂ . . .
o‘suvchi zanjirni hosil qildik. R halqa Nyoter halqasi bo‘lganligi uchun ushbu zanjir qandaydir m ta qadamdan keyin uziladi, ya’ni I_m = I_m+1 = Bundan
tashqari, Nyoter halqasining ixtiyoriy ideali hosil qiluvchi elementlari soni chekli ekanligidan I₀, I₁, , I_m ideallar ham hosil qiluvchi elementlari soni chekli bo‘lgan
ideallardir, ya’ni
I_k = ⟨a_k,1, a_k,2, . . . , a_k,tk ⟩, 0 ≤ k ≤ m,
bu yerda a_k,j elementlar A idealning qandaydir k-darajali f_k,j(x) ko‘phadlarning bosh koeffitsiyentlari. R[x] halqaning ushbu ko‘phadlar orqali hosil qilingan ide- alini B orqali belgilaymiz, ya’ni
B = ⟨f_k,j(x) | 0 ≤ k ≤ m, 1 ≤ j ≤ t_k⟩.

Ma’lumki, B ⊂ A. Biz endi A ⊂ B ekanligini, ya’ni ixtiyoriy f (x) ∈ A ko‘phadni B idealga tegishli ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun f (x) ko‘phadning darajasi bo‘yicha induksiya usulidan foydalanamiz. Agar deg(f (x)) = 0 bo‘lsa, u holda f (x) ∈ I₀ ⊂ B ekanligi ravshan. Endi A ide- alda yotuvchi darajasi s dan kichik bo‘lgan barcha ko‘phadlar B idealga ham tegishli bo‘lsin deb faraz qilib,

f (x) = c₀x^s + c₁x^s−1 + · · · + c_s−1x + c_s ∈ A, c₀ 0

ko‘phadni qaraymiz. Agar s ≤ m bo‘lsa, u holda c₀ ∈ I_s bo‘lib, I_s =

⟨a_s,1, a_s,2, . . . , a_s,ts ⟩ bo‘lganligi uchun ushbu c₀ element a_s,1, a_s,2, . . . , a_s,ts elementlar orqali ifodalanadi, ya’ni
c₀ = r₁a_s,1 + r₂a_s,2 + · · · + r_sa_s,ts, r₁, r₂, . . . , r_s ∈ R.
Bundan esa


h_s(x) = r₁f_s,1(x) + r₂f_s,2(x) + · · · + r_sf_s,ts (x)
ko‘phadning B idealga tegishli ekanligi kelib chiqadi. Bundan tashqari, ushbu h_s(x) ko‘phadning ham darajasi s ga, bosh koeffitsiyenti esa c₀ ga teng. Demak, f (x) − h_s(x) ∈ A ko‘phadning darajasi s dan kichik bo‘lib, induksiya faraziga ko‘ra, f (x) − h_s(x) ∈ B kelib chiqadi, ya’ni f (x) ∈ B. Shunday qilib, biz s ≤ m bo‘lganda A ⊂ B ekanligini ko‘rsatdik.
Endi s > m bo‘lgan holni qaraymiz. U holda
c₀ ∈ I_s = I_m = ⟨a_m,1, a_m,2, . . . , a_m,tm ⟩
bo‘lib, c₀ = r₁a_m,1 + r₂a_m,2 + · · · + r_ma_m,tm, bu yerda r₁, r₂, . . . , r_m ∈ R.
Endi quyidagi

m
g(x) = f (x) − x^s−m r₁f_m,1(x) + r₂f_m,2(x) + · · · + r_mf_m,t (x)

ko‘phadni qarasak, ushbu ko‘phadning darajasi s dan kichik bo‘lib, induksiya faraziga ko‘ra u B idealga tegishli. Ikkinchi tomondan esa r₁f_m,1(x) + r₂f_m,2(x) +

· · · + r_mf_m,tm (x) ∈ B ekanligidan foydalansak, f (x) ∈ B kelib chiqadi. Shunday qilib, biz ixtiyoriy f (x) ∈ A uchun f (x) ∈ B ekanligini, ya’ni A ⊂ B bo‘lishini
ko‘rsatdik. B idealning hosil qiluvchi elementlari soni chekli bo‘lganligi uchun A ideal ham hosil qiluvchi elementlari soni chekli bo‘lgan idealdir. Demak, R[x] halqaning ixtiyoriy idealining hosil qiluvchi elementlari soni chekli ekan, ya’ni R[x] Nyoter halqasi.
Yuqoridagi teoremadan quyidagi muhim natijani olamiz.