Abstrakt algebra

6.4.1-natija. H = Gal(F, L) gruppa uchun F_H = L bo‘ladi.
Demak, K ⊂ F kengaytma orasidagi ixtiyoriy L maydonga Gal(F, K) grup- paning H = Gal(F, L) qism gruppasini, va aksincha Gal(F, K) Galua gruppasi- ning ixtiyoriy H qism gruppasiga F_H maydonni mos qo‘yish mumkin. Bundan tashqari, turli L₁ va L₂ maydonlarga turli qism gruppalar mos keladi. Chunki, agar Gal(F, L₁) = Gal(F, L₂) bo‘lsa, u holda L₁ = F_Gal(F,L1) = F_Gal(F,L2) = L₂.
Shunday qilib, biz quyidagi teoremaga ega bo‘ldik.
6.4.1-teorema (Galua nazariyasining fundamental teoremasi). K ⊂ F separabel va normal kengaytmaning orasidagi maydonlar to‘plami bilan Gal(F, K) Galua gruppasining qism gruppalari to‘plami orasida o‘zaro bir qiymatli moslik mavjud. Bunda L maydonga Gal(F, L) qism gruppa va H ⊂ Gal(F, K) qism grup- paga esa F_H maydon mos keladi. Bundan tashqari, |Gal(F, L)| = [F : L] va [F : F_H] = |H|.
Ta’kidlash joizki, K ⊂ F separabel va normal kengaytmaning orasidagi may- donlar to‘plami bilan Gal(F, K) Galua gruppasining qism gruppalari orasidagi ushbu moslikda K maydonga Gal(F, K) Galua gruppasining o‘zi mos kelsa, grup- paning faqat birlik elementdan tashkil topgan qism gruppasiga esa F maydon mos keladi. Bundan tashqari ushbu moslikda F maydonning L₁ va L₂ qism maydon- lari uchun L₁ ⊂ L₂ munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda bu qism maydonlarga mos keluvchi H₁ va H₂ qism gruppalar uchun H₁ ⊃ H₂ bo‘ladi.