Abstrakt algebra

M_n gruppada
M_n ⊃ H ⊃ e
yechiluvchan qator mavjud, ya’ni M_n gruppa yechiluvchan.
Demak, biz yuqorida Gal(F, K) Galua gruppasidan M_n yechiluvchan grup- paga inyektiv akslantirish qurgan ekanmiz. Agar biz bu inyektiv akslantirishning gomomorfizm ekanligini ko‘rsatsak, teoremaning isbotiga ega bo‘lamiz.
Aytaylik, bizga ψ₁ va ψ₂ avtomorfizmlar berilgan bo‘lib, ularga (k₁, m₁) va (k₂, m₂) juftliklar mos kelsin. Ya’ni
ψ₁(ζ) = ζ^k1 , ψ₁(θ) = ζ^m1 θ, ψ₂(ζ) = ζ^k2 , ψ₂(θ) = ζ^m2 θ.
U holda ψ₂ ◦ ψ₁ avtomorfizm uchun
(ψ₂ ◦ ψ₁)(ζ) = ψ₂(ζ ) = ψ₂(ζ) = ζ ,
k₁ ^k1 k₁k₂

(ψ₂ ◦ ψ₁)(θ) = ψ₂(ζ^m1 θ) = ψ₂(ζ^m1 )ψ₂(θ) = ζ^k2m1 ζ^m2 θ = ζ^k2m1+m2 θ.

Ushbu tengliklardan esa ψ₂ ◦ ψ₁ avtomorfizmga (k₁k₂, k₂m₁ + m₂) juftlik mos kelishini hosil qilamiz. Demak, Gal(F, K) Galua gruppasidan M_n yechiluvchan gruppaga qurilgan inyektiv akslantirish gomomorfizm, ya’ni monomorfizm bo‘lar ekan. M_n gruppa yechuluvchan bo‘lganligi uchun uning ixtiyoriy qism gruppasi ham yechiluvchan bo‘lib, bundan Gal(F, K) Galua gruppasining ham yechiluvchan ekanligi kelib chiqadi.
6.5.3-ta’rif. Agar K ⊂ F kengaytmada shunday
K = L₀ ⊂ L₁ ⊂ · · · ⊂ L_i ⊂ L_i+1 ⊂ · · · ⊂ L_s = F (6.5)
kengaytmalar ketma-ketligi topilib, har bir L_i ⊂ L_i+1 kengaytma sodda radikal kengaytma bo‘lsa, u holda K ⊂ F kengaytma radikal kengaytma deb ataladi.
Radikal kengaytmadagi kengaytmalar ketma-ketligi esa, radikal qator deyi- ladi. Ta’kidlash joizki, radikal kengaytma bir nechta radikal qatorlarga ega bo‘lishi mumkin. Bundan tashqari, radikal qatorda L_i ⊂ L_i+1 kengaytmalar normal bo‘lganligi bilan K ⊂ F kengaytma normal bo‘lmasligi mumkin. Bir vaqtning o‘zida ham normal ham radikal bo‘lgan kengaytmaga normal radikal ken- gaytma deb ataladi.
6.5.3-teorema. Ixtiyoriy K ⊂ F radikal kengaytma uchun shunday F (K ⊂ F ⊂ F) maydon mavjudki, K ⊂ F kengaytma normal radikal kengaytma bo‘ladi. Ya’ni ixtiyoriy radikal kengaytma qandaydir normal radikal kengaytmaning ichida yotadi.


Isbot. Isbotni radikal qatorning uzunligi bo‘yicha induksiya metodini qo‘llab amalga oshiramiz. Agar s = 1 bo‘lsa, u holda K = L₀ ⊂ L₁ = F bo‘lib, K ⊂ F kengaytma normal radikal bo‘ladi, ya’ni F = F deb olish yetarli.
Tasdiqni usunligi s ga teng bo‘lgan radikal qatorlar uchun o‘rinli bo‘lsin deb faraz qilib, s + 1 uchun ko‘rsatamiz. Agar
K = L₀ ⊂ L₁ ⊂ · · · ⊂ L_s ⊂ L_s+1 = F
qatorni qarasak, induksiya faraziga ko‘ra K ⊂ L_s kengaytmani o‘z ichiga olivchi
L_s (K ⊂ L_s ⊂ L_s) normal radikal kengaytma mavjud, ya’ni qandaydir
K = P₀ ⊂ P₁ ⊂ . . . P_t−1 ⊂ P_t = L_s (6.6)

radikal qator mavjud.

Ikkinchi tomondan esa, L_s ⊂ F kengaytma sodda radikal kengaytma bo‘lganligi uchun F = L_s(ζ, θ), bu yerda ζ – birning n-darajali boshlang‘ich ildizi, θ esa xⁿ − c, c ∈ L_s tenglamaning birorta fiksirlangan ildizi.
Aytaylik, ushbu c ∈ L_s elementning K maydon ustidagi minimal ko‘phadi
g(x) bo‘lsin. K ⊂ L_s kengaytma normal bo‘lib, c ∈ L_s bo‘lganligi uchun, g(x) ko‘phadning barcha ildizlari L_s maydonda yotadi. Bundan esa, ζ boshlang‘ich ildizning ham L_s maydonda yotishi kelib chiqadi. Ushbu g(x) ko‘phadning ildizlari β₁ = c, β₂, . . . , β_r uchun L_s maydonda quyidagi tenglamalarni qaraymiz
xⁿ − β_i = 0, 1 ≤ i ≤ r.
Bu r ta tenglamaning har biridan bittadan α₁ = θ, α₂, . . . , α_r ildizlarni olib, L_s maydon va ushbu α_i ildizlarni o‘z ichiga oluvchi L_s(α₁, α₂, . . . , α_r) maydonni qarasak, ζ, θ ∈ L_s(α₁, α₂, . . . , α_r) ekanligidan F ⊂ L_s(α₁, α₂, . . . , α_r) kelib chiqadi.
Endi quyidagi
L_s ⊂ L_s(α₁) ⊂ L_s(α₁, α₂) ⊂ · · · ⊂ L_s(α₁, α₂, . . . , α_r) (6.7)
qatorni qarasak, ushbu qator radikal qator bo‘ladi. Bundan esa, (6.6) va (6.7) qatorlarni birlashtirish natijasida K maydondan boshlanib, L_s(α₁, α₂, . . . , α_r) maydonda tugovchi radikal qatorning mavjudligini keltirib chiqazamiz. Ya’ni K ⊂ L_s(α₁, α₂, . . . , α_r) kengaytma radikal kengaytma bo‘ladi.
Endi ushbu kengaytmaning normal ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun
G(x) = g(xⁿ) = (xⁿ − β₁)(xⁿ − β₂) . . . (xⁿ − β_r)
ko‘phadni qarasak, α₁, α₂, . . . , α_r elementlar G(x) ko‘phadning ildizlari bo‘ladi. Demak, K maydon ustidagi G(x) ko‘phadning yoyilish maydoni L_s(α₁, α₂, . . . , α_r) maydonni o‘z ichiga oladi. Ikkinchi tomondan esa, G(x) ko‘phadning qolgan ildiz- larini α₁, α₂, . . . , α_r elementlarga birning n-darajali boshlang‘ich ildizi ζ ning dara- jalarini ko‘paytirish orqali hosil qilinadi. Bu esa G(x) ko‘phadning barcha ildizlari


L_s(α₁, α₂, . . . , α_r) maydonda yotishini, ya’ni L_s(α₁, α₂, . . . , α_r) maydon K maydon ustidagi G(x) ko‘phadning yoyilish maydoni bilan ustma-ust tushishini anglatadi. Demak, K ⊂ L_s(α₁, α₂, . . . , α_r) kengaytma normal radikal kengaytma bo‘ladi. F = L_s(α₁, α₂, . . . , α_r) deb olsak, teorema isbotini hosil qilamiz.
Endi xarakteristikasi nolga teng bo‘lgan K maydonda
xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + · · · + a_n−1x + a_n = 0 (6.8)

tenglamani qaraymiz.

6.5.4-ta’rif. Agar (6.8) tenglamaning θ ildizi K maydonning qandaydir radikal kengaytmasiga tegishli bo‘lsa, u holda θ ildiz radikallarda ifodalanadi deyiladi. Agar tenglamaning barcha ildizlari radikallarda ifodalansa, u holda ushbu tenglama radikallarda yechiladi deb ataladi.
Ta’kidlash joizki, θ ildizning radikallarda ifodalanishi uning K maydon ele- mentlari ustida to‘rtta arifmetik amal va n-darajali ildiz chiqarish orqali hosil qilinishi bilan teng kuchli.
6.5.2-tasdiq. Agar f (x) keltirilmas ko‘phadning hech bo‘lmaganda bitta ildizi radikallarda ifodalansa, u holda f (x) = 0 tenglama radikallarda yechiladi.

Isbot. Aytaylik, f (x) keltirilmas ko‘phad bo‘lib, θ uning radikallarda ifodala- nuvchi ildizi bo‘lsin. U holda K ⊂ F radikal kengaytma mavjud bo‘lib, θ ∈ F. O‘z navbatida 6.5.3-teoremaga ko‘ra F maydonni o‘z ichiga olivchi F maydon mavjud bo‘lib, K ⊂ F kengaytma normal radikal kengaytma bo‘ladi. θ ∈ F bo‘lganligi va K ⊂ F kengaytmaning normalligidan, f (x) = 0 tenglamaning barcha ildizlari F maydonda yotishi kelib chiqadi. Demak, f (x) = 0 tenglama radikallarda yechiladi.


6.5.3-tasdiq. Ixtiyoriy normal radikal kengaytmaning Galua gruppasi yechiluv- chan bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, K ⊂ F normal radikal kengaytma berilgan bo‘lsin. U holda Galua nazariyasining fundamental teoremasiga ko‘ra
K = L₀ ⊂ L₁ ⊂ · · · ⊂ L_s−1 ⊂ L_s = F
radikal qatorga Gal(F, K) Galua gruppasining quyidagi qism gruppalari ketma- ketligi mos keladi
Gal(F, K) = H₀ ⊃ H₁ ⊃ · · · ⊃ H_s−1 ⊃ H_s = E, (6.9) bu yerda H_i = Gal(F, L_i).


Ixtiyoriy i (1 ≤ i ≤ s) uchun L_i−1 ⊂ L_i kengaytma normal kengaytma ekan- ligidan H_i = Gal(F, L_i) qism gruppaning H_i−1 = Gal(F, L_i−1) qism gruppada nor- mal bo‘luvchi ekanligini hosil qilamiz. Bundan tashqari, H_i−1/H_i faktor gruppa Gal(L_i, L_i−1) gruppaga izomorf bo‘lib, L_i−1 ⊂ L_i kengaytma sodda radikal ken- gaytma bo‘lganligi uchun 6.5.2-teoremaga ko‘ra H_i−1/H_i faktor gruppa yechiluv- chan bo‘ladi. Demak, (6.9) qator normal qator bo‘lib, uning har bir H_i−1/H_i faktor gruppalari yechiluvchan. Bundan esa Gal(F, K) Galua gruppasining yechi- luvchan ekanligi kelib chiqadi.
Ta’kidlash joizki, 6.5.3-tasdiqning teskarisi umuman olganda o‘rinli emas, ya’ni Galua gruppasi yechiluvchan bo‘lgan ixtiyoriy normal kengaytma radikal ken- gaytma bo‘lavermaydi. Lekin Galua gruppasi yechiluvchan bo‘lgan ixtiyoriy nor- mal kengaytmani o‘z ichiga oluvchi normal radikal kengaytma mavjud. Biz ushbu fakt isbotini keyingi paragrafda keltirib o‘tamiz (6.6.2-teoremaga qarang). Galua teoremasi deb yuritiladigan quyidagi asosiy teoremaning isbotida esa biz ushbu faktdan foydalanamiz.