Abstrakt algebra

Yechish. Ma’lumki, f (x) = x⁴ − 2 ko‘phad ratsional sonlar maydoni ustida keltirilmas bo‘lib, kompleks sonlar maydoni ustida quyidagi ko‘rinishda chiziqli

ko‘paytuvchilarga ajraladi

x⁴ − 2 = (x − ^√4 2)(x + ^√4 2)(x − i^√4 2)(x + i^√4 2).

√ √ √
Bundan ko‘rinadiki, Q ratsional sonlar maydoni ustidagi f (x) ko‘phadning yoyilish maydoni Q(i, ⁴ 2) maydondan iborat. Agar Q ⊂ Q( ⁴ 2) ⊂ Q(i, ⁴ 2) ekanligidan foydalansak,
[Q(i, ^√4 2) : Q] = [Q(i, ^√4 2) : Q(^√4 2)] · [Q(^√4 2) : Q].

√ √

√ √ √

√ √
Endi x⁴ − 2 ko‘phad Q maydonda √⁴ 2 element uchun minimal, x² + 1 ko‘phad esa Q( ⁴ 2) maydonda i uchun minimal bo‘lganligi uchun [Q( ⁴ 2) : Q] = 4 va [Q(i, ⁴ 2) : Q( ⁴ 2)] = 2 bo‘lib, [Q(i, ⁴ 2) : Q] = 8 ekanligi kelib chiqadi.

√
Demak, |Gal(Q(i, ⁴ 2), Q)| = [Q(i, ⁴ 2) : Q] = 8, ya’ni f (x) ko‘phad Galua
gruppasining tartibi 8 ga teng. Bundan esa, Gal(Q(i, ⁴ 2), Q) Galua gruppasi
Z₈, Z₄ × Z₂, Z₂ × Z₂ × Z₂, Q₈ va D₄ gruppalardan biriga izomorf ekanligi kelib

chiqadi.
√ √ √ √

√
Ta’kidlash joizki, f (x) ko‘phadning barcha ildizlari ⁴ 2, − ⁴ 2, i ⁴ 2, −i ⁴ 2

√

√ √ √ √
bo‘lganligi uchun ixtiyoriy ϕ ∈ Gal(Q(i, ⁴ 2), Q) avtomorfizmni aniqlash uchun uning ildizlardagi qiymatlarini aniqlash kifoya. Bundan tashqari, ϕ(α) = α, α ∈ Q ekanligidan ϕ(− ⁴ 2) = −ϕ( ⁴ 2) va ϕ(−i ⁴ 2) = −ϕ(i ⁴ 2). Bulardan foydalanib, Gal(Q(i, ⁴ 2), Q) Galua gruppasining barcha elementlarini quyidagi jadval oqrali ifodalashimiz mumkin

	ϕ1	ϕ2	ϕ3	ϕ4	ϕ5	ϕ6	ϕ7	ϕ8
√4 2 √	√4 2 √	√4 2 √	−^√^42 √	−^√^42 √	i^√^42 √	i^√^42 √	−i^√^42 √	−i^√^42 √
4 −√ 2	4 −√ 2	4 — √2	4 2 √	4 2 √	4 −i 2 √	4 −i 2 √	i ^42 √	i ^42 √
i ^42 √	i ^42 √	4 −i 2 √	i ^42 √	4 −i 2 √	4 2 √	4 −√ 2	4 2 √	4 −√ 2
4 −i 2	4 −i 2	i ^42	4 −i 2	i ^42	4 — 2	4 2	4 — 2	4 2

√
Ko‘rinib turibdiki, ushbu gruppa kommutativ emas, chunki ϕ₂ ◦ ϕ₅ /= ϕ₅ ◦ ϕ₂. Bundan tashqari, Q₈ kvaternion gruppasining tartibi 2 ga teng bo‘lgan qism gruppasi bitta bo‘lib, Gal(Q(i, ⁴ 2), Q) Galua gruppasida esa bunday qism grup-
palar uchta, ya’ni H₁ = {ϕ₁, ϕ₂}, H₂ = {ϕ₁, ϕ₃}, H₃ = {ϕ₁, ϕ₄}. _√Demak, Galua
gruppasi Q₈ gruppaga ham izomorf emas. Bundan esa, Gal(Q(i, ⁴ 2), Q) Galua gruppasi D₄ Diedr gruppasiga izomorf ekanligini kelib chiqadi. Q

6. Qo‘shimcha tushuncha va teoremalar

Bizga K₁ va K₂ maydonlar berilgan bo‘lib, P esa ushbu K₁ va K₂ maydolarni o‘z ichiga oluvchi eng kichik maydon bo‘lsin. Masalan, agar K₁ = K(θ₁) va K₂ = K(θ₂) bo‘lsa, u holda ushbu maydonlarni o‘z ichiga oluvchi eng kichik maydon K(θ₁, θ₂) bo‘ladi.
6.6.1-tasdiq. Agar P maydon K₁ va K₂ maydonlarni o‘z ichiga oluvchi eng kichik maydon bo‘lib, K₂ = K(θ₁, θ₂, . . . , θ_n) bo‘lsa, u holda P = K₁(θ₁, θ₂, . . . , θ_n).
Isbot. Aytaylik, P ushbu K₁ va K₂ maydonlarni o‘z ichiga oluvchi eng kichik maydon bo‘lsin. K ⊂ K₁ bo‘lganligi uchun K(θ₁, θ₂, . . . , θ_n) ⊂ K₁(θ₁, θ₂, . . . , θ_n), ya’ni K₂ ⊂ K₁(θ₁, θ₂, . . . , θ_n). Bundan tashqari, K₁ ⊂ K₁(θ₁, θ₂, . . . , θ_n) bo‘lib, P maydonning eng kichik ekanligidan P ⊂ K₁(θ₁, θ₂, . . . , θ_n) kelib chiqadi.
Ikkinchi tomondan esa, K₁ ⊂ P va θ₁, θ₂, . . . , θ_n ∈ P ekanligidan
K₁(θ₁, θ₂, . . . , θ_n) ⊂ P kelib chiqadi. Demak, P = K₁(θ₁, θ₂, . . . , θ_n).
Ushbu tasdiqdan quyidagi natijaga ega bo‘lamiz.
6.6.1-natija. Agar K maydonning K₁ va K₂ kengaytmalaridan hech bo‘lmaganda bittasi chekli bo‘lsa, u holda ushbu maydonlarni o‘z ichiga oluvchi eng kichik may- donning ixtiyoriy elementi


α₁β₁ + α₂β₂ + · · · + α_sβ_s
ko‘rinishida bo‘ladi, bu yerda α₁, α₂, . . . , α_s ∈ K₁, β₁, β₂, . . . , β_s ∈ K₂.
Isbot. Aytaylik, K ⊂ K₂ kengaytma chekli bo‘lsin. U holda ushbu ken- gaytma algebraik hosil qilingan kengaytma bo‘lib, K maydonda algebraik bo‘lgan θ₁, θ₂, . . . , θ_n elementlar uchun K₂ = K(θ₁, θ₂, . . . , θ_n). Ushbu elementlar K₁ may- donda ham algebraik bo‘lib, P = K₁(θ₁, θ₂, . . . , θ_n) maydonning ixtiyoriy ele- mentini θ₁, θ₂, . . . , θ_n elementlar va K₁ maydonning elementlari orqali
α₁β₁ + α₂β₂ + · · · + α_sβ_s


kabi ifodalash mumkin.
Aytaylik, K maydonning K₁ va K₂ kengaytmalari hamda K ⊂ F normal va separabel kengaytma berilgan bo‘lib, ushbu K₁ va K₂ maydonlarni o‘z ichiga oluv- chi eng kichik P maydon uchun K ⊂ P ⊂ F bo‘lsin. U holda
K ⊂ K₁ ⊂ P ⊂ F va K ⊂ K₂ ⊂ P ⊂ F
bo‘lib, Gal(F, P), Gal(F, K₁) va Gal(F, K₂) gruppalar Gal(F, K) Galua gruppasi- ning qism gruppalari bo‘ladi. Ushbu qism gruppalar uchun quyidagi tasdiq o‘rinli.
6.6.2-tasdiq. Gal(F, P) = Gal(F, K₁) ∩ Gal(F, K₂).


Isbot. Gal(F, K₁) va Gal(F, K₂) gruppalar mos ravishda K₁ va K₂ maydon elementlarini o‘z joyida qoldiruvchi avtomorfizmlardan iborat bo‘lib, ixtiyoriy ϕ ∈ Gal(F, K₁) ∩ Gal(F, K₂) avtomorfizm α₁β₁ + α₂β₂ + · · · + α_sβ_s ko‘rinishidagi elementlarni o‘z joyida qoldiradi. Bundan esa, ϕ avtomorfizm P maydonning ham ixtiyoriy elementini o‘z joyida qoldirishi kelib chiqadi. Demak, ϕ ∈ Gal(F, P), ya’ni Gal(F, K₁) ∩ Gal(F, K₂) ⊂ Gal(F, P).
Ikkinchi tomondan esa, ixtiyoriy ψ ∈ Gal(F, P) avtomorfizm K₁ va K₂ maydon- larning elementlarini ham o‘z joyida qoldiradi. Demak, Gal(F, P) ⊂ Gal(F, K₁) ∩ Gal(F, K₂) bo‘lib, bundan esa tasdiqning isboti kelib chiqadi.
6.6.2-natija. F = P bo‘lishi uchun Gal(F, K₁) ∩ Gal(F, K₂) = {e} bo‘lishi zarur va yetarli, bu yerda e – gruppaning birlik elementi.
6.6.3-natija. Agar K ⊂ F normal va separabel, K ⊂ K₁ normal va K ⊂ K₂ kengaytmalar berilgan bo‘lib, F maydon K₁ va K₂ maydonlarni o‘z ichiga oluvchi eng kichik maydon bo‘lsa, u holda Gal(F, K₂) Galua gruppasi Gal(K₁, K) Galua gruppasining qandaydir qism gruppasiga izomorf bo‘ladi.
^{Isbot. 6.4.2-natijaga ko‘ra Gal(K1, K) ∼}= ^{Gal(F, K)/Gal(F, K1), ya’ni}
Ψ : Gal(F, K) → Gal(K₁, K)
epimorfizm mayjud bo‘lib, KerΨ = Gal(F, K₁).
Bundan tashqari, Gal(F, K₁) ∩ Gal(F, K₂) = {e} ekanligidan esa ushbu Ψ epimorfizmning Gal(F, K₂) gruppada monomorfizmligi kelib chiqadi. Demak, Gal(F, K₂) gruppa Gal(K₁, K) gruppaning qandaydir qism gruppasiga izomorf bo‘ladi.
Endi siklik kengaytma tushunchasini kiritamiz.
6.6.1-ta’rif. Agar Gal(F, K) gruppa siklik gruppa bo‘lsa, u holda K ⊂ F ken- gaytma siklik kengaytma deb ataladi.
Agar K maydonning f (x) = xⁿ − c ko‘phadga mos keluvchi sodda radikal kengaytmasida birning n-darajali boshlang‘ich ildizi K maydonga tegishli bo‘lsa, u holda ushbu sodda radikal kengaytma siklik kengaytma bo‘ladi. Haqiqatdan ham, agar F = K(ζ, η) bo‘lib, ζ ∈ K bo‘lsa, u holda K(ζ, η) = K(η) bo‘lib, 6.5.2-teorema isbotidagi kabi Gal(F, K) gruppadan M_n gruppaga qurilgan monomorfizmning obrazi H = {(1, m) | m ∈ Z_n} to‘plamdan iborat bo‘ladi. Ushbu H to‘plam M_n gruppaning siklik qism gruppasi bo‘lganligi uchun Gal(F, K) Galua gruppasining ham siklik ekanligi kelib chiqadi.
Shunday qilib, biz birning n-darajali boshlang‘ich ildizi K maydonga tegishli bo‘lgan holda ixtiyoriy sodda radikal kengaytmaning siklik kengaytma bo‘lishini

hosil qildik. Bizning maqsadimiz ushbu tasdiqning teskarisi ham o‘rinli ekanlig- ini ko‘rsatishdan iborat. Buning uchun dastlab, bir qancha zaruriy lemmalarni isbotlab olamiz.

Demak, bizga xarakteristikasi nolga teng bo‘lgan maydonning K ⊂ F siklik
kengaytmasi berilgan bo‘lib, [F : K] = n bo‘lsin. Aytaylik, ζ – birning n-darajali boshlang‘ich ildizi va ϕ ∈ Gal(F, K) avtomorfizm siklik gruppaning hosil qiluvchi elementi bo‘lib, ζ ∈ K bo‘lsin. Ixtiyoriy α ∈ K element va t butun son uchun quyidagi qatorni qaraymiz
(ζ^t, α) = α + ζ^t · ϕ(α) + ζ^2t · ϕ²(α) + · · · + ζ^(n−1)t · ϕⁿ⁻¹(α)