Abstrakt algebra
Download 0,99 Mb.
|
ABSTRAKT ALGEBRA(oquv qollanma)
6.1.2-misol. Q ⊂ Q(√2, √3) kengaytmaning bazisini toping.
Yechish. Quyid√agi Q ⊂ Q(√2) ⊂ Q(√2, √3√) kengaytmalarni qaraymiz. Ma’lumki, Q ⊂ Q( 2) ken√gaytmaning bazisi {1, 2} bo‘ladi, chunki, x2 − 2 ko‘phad Q maydon ustida 2√sonining minimal√ko‘phadi. Yuqoridagi 6.1.1- misolga ko‘ra x2 −√3 ko‘phad√Q √2 maydon ustida 3 sonining√minimal ko‘phadi bo‘lib, bundan Q( 2) ⊂ Q( 2, 3) kenga√ytm√aning bazisi {1, 3} ekanligi kelib chiq√adi.√U √holda 6.1.4-tasdiqqa ko‘ra [Q( 2, 3) : Q] = 4 bo‘lib, uning bazisi {1, 2, 3, 6} bo‘ladi. Q
Ushbu bo‘limda biz separabel va normal kengaytmalarni o‘rganamiz. 6.2.1-ta’rif. Bizga K maydon va f (x) ko‘phad berilgan bo‘lsin. Agar K maydon- ning qandaydir F kengaytmasida f (x) ko‘phad chiziqli ko‘paytuvchilarga ajralib, kengaytma orasidagi hech qaysi qism maydonda chiziqli ko‘paytuvchilarga ajral- masa, u holda F maydon f (x) ko‘phadning (K maydon ustidagi ) yoyilish may- doni deb ataladi. Boshqacha qilib aytganda, F maydon f (x) ko‘phad chiziqli ko‘paytuvchilarga ajraluvchi eng kichik maydondir. Agar f (x) ko‘phadning barcha α1, α2, . . . , αn ildizlarini o‘z ichiga oluvchi qandaydir universal maydon mavjud bo‘lsa, u holda K maydon ustidagi f (x) ko‘phadning yoyilish maydoni K(α1, α2, . . . , αn) maydondan iborat bo‘ladi. 6.2.2-ta’rif. Agar f (x) ko‘phad K maydonda keltirilmas bo‘lib, f (x) ko‘phadning yoyilish maydonida ushbu ko‘phadning ildizlari turli bo‘lsa, u holda bu ko‘phadga separabel ko‘phad deb ataladi. 6.2.3-ta’rif. Agar K maydonning α algebraik elementining minimal ko‘phadi separabel bo‘lsa, u holda ushbu elementga K maydon ustida separabel element deb ataladi. K ⊂ F algebraik kengaytmada ixtiyoriy α ∈ F element K maydon ustida separabel bo‘lsa, u holda ushbu kengaytmaga separabel kengaytma deyi- ladi. 6.2.1-tasdiq. Xarakteristikasi nolga teng bo‘lgan maydondagi ixtiyoriy keltirilmas ko‘phad separabel bo‘ladi. Isbot. Aytaylik, f (x) = a0xn + a1xn−1 + · · · + an−1x + an keltirilmas ko‘phad berilgan bo‘lsin. Ushbu ko‘phadning formal hosilasi deb ataluvchi f ′(x) = na0xn−1 + a1(n − 1)xn−1 + · · · + an−1 ko‘phadni qaraymiz. Ma’lumki, ushbu formal hosila uchun f (x) · g(x) ′ = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x) tenglik o‘rinli. Agar f (x) = (x − α)mg(x) bo‘lsa, u holda f ′(x) = (x − α)mg′(x) + m(x − α)m−1g(x) bo‘lib, bundan f (x) va f ′(x) ko‘phadlar umumiy ildizga ega bo‘lishi uchun m ≥ 2 bo‘lishi zarur va yetarli ekanligi kelib chiqadi. Boshqacha aytganda, f (x) ko‘phad karrali ildizga ega bo‘lmasligi, ya’ni separabel bo‘lishi uchun f (x) va f ′(x) ko‘phadlar o‘zaro tub bo‘lishi zarur va yetarli. Xarakteristikasi nolga teng bo‘lgan maydonda ixtiyoriy f (x) keltirilmas ko‘phad f ′(x) ko‘phad bilan o‘zaro tub bo‘lganligi uchun uning separabel ekanligini hosil qilamiz. 6.2.1-tasdiqdan quyidagi natijaga ega bo‘lamiz. 6.2.1-natija. Xarakteristikasi nolga teng bo‘lgan maydonning ixtiyoriy algebraik kengaytmasi separabel bo‘ladi. Ta’kidlash joizki, ixtiyoriy maydon ustida berilgan keltirilmas f (x) ko‘phad f ′(x) ko‘phad bilan o‘zaro tub bo‘lishi uchun f ′(x) 0 bo‘lishi zarur va yetarli. / Xarakteristikasi p (p = 0) ga teng bo‘lgan maydonda esa, f ′(x) = 0 bo‘lishi uchun f (x) ko‘phad f (x) = g(xp) ko‘rinishida ifodalanishi zarur va yetarli. Xarakteristikasi p (p 0) ga teng bo‘lgan maydonda keltirilmas bo‘lib, separa- bel bo‘lmaydigan ko‘phadlar mavjud. Masalan, xarakteristikasi p ga teng bo‘lgan F maydon va biror t transendent son berilgan bo‘lsa, u holda F(tp) maydonda f (x) = xp − tp ko‘phad keltirilmas bo‘ladi. f ′(x) = pxp−1 = 0 ekanligidan esa f (x) ko‘phadning separabel emasligi kelib chiqadi. Bundan tashqari F(tp) may- don ustidagi xp − tp ko‘phadning yoyilish maydoni F(t) bo‘lib, ushbu maydonda xp − tp ko‘phad p karrali bitta t ildizga ega. 6.2.1-teorema. K cheksiz maydonning ixtiyoriy chekli separabel kengaytmasi sodda algebraik kengaytma bo‘ladi, ya’ni agar K ⊂ F kengaytma chekli separa- bel bo‘lsa, u holda shunday θ ∈ F algebraik element topilib, K(θ) = F. Isbot. 6.1.1-teoremaga ko‘ra ixtiyoriy chekli kengaytma algebraik hosil qilin- gan kengaytma bo‘ladi. Demak, K ⊂ F separabel kengaytma ham chekli bo‘lganligi uchun, ushbu kengaytma ham algebraik hosil qilingan. Ya’ni shun- day α1, α2, . . . , αm algebraik elementlar mavjud bo‘lib, K(α1, α2, . . . , αm) = F. Biz m = 2 bo‘lgan holda K ⊂ F kengaytmaning sodda algebraik ekanligini ko‘rsatishimiz yetarli. Chunki, umumiy holni m = 2 bo‘lgan holdan induksiya orqali osongina keltirib chiqarish mumkin. Demak, F = K(β, γ) bo‘lib, ushbu β, γ algebraik elementlarning minimal ko‘phadlari f (x) va g(x) bo‘lsin. Aytaylik, f (x) va g(x) ko‘phadlarning ildizlari mos ravishda β = β1, β2, . . . , βn va γ = γ1, γ2, . . . , γs ≤ ≤ ≤ ≤ bo‘lsin. f (x) va g(x) ko‘phadlar separabel bo‘lganligi uchun, ushbu ildizlar turli bo‘lib, quyidagi λi,j = βi − β1 , 2 i n, 2 j s γ1 − γj elementlarni qarash mumkin. K maydon cheksiz bo‘lganligi uchun bu λi,j ele- mentlarning hech biriga teng bo‘lmagan noldan farqli c element mavjud. U holda θ = β1 + cγ1 elementni qarasak, θ /= βi + cγj, 1 ≤ i ≤ n, 2 ≤ j ≤ s munosabat o‘rinli. Ushbu θ element ham F maydonga tegishli bo‘lganligi uchun, u ham algebraik bo‘lib, K(θ) sodda algebraik kengaytma F maydonning qism maydoni bo‘ladi, ya’ni K(θ) ⊂ F. Ikkinchi tomondan esa, h(x) = f (θ − cx) ko‘phadni qarasak, ushbu ko‘phad g(x) ko‘phad bilan yagona umumiy ildizga ega. Chunki, h(γ) = f (θ − cγ) = f (β) = 0 bo‘lib, h(γj) = f (θ − cγj) 0, 2 ≤ j ≤ s. Ya’ni faqatgina γ element h(x) ko‘phadning ildizi bo‘lib, qolgan γi, 2 ≤ j ≤ s elementlar esa ildiz bo‘lmaydi. Bundan esa, h(x) va g(x) ko‘phadlarning eng kichik umumiy bo‘luvchisi x − γ ga teng ekanligini hosil qilamiz. Biz h(x) va g(x) ko‘phadlarni K(θ) maydon ustidagi ko‘phadlar deb qarasak, ularning umu- miy bo‘luvchisi ham shu maydonga tegishli ekanligidan γ ∈ K(θ) kelib chiqadi. Bundan tashqari β = θ − cγ ekanligidan β ∈ K(θ), ya’ni F = K(β, γ) ⊂ K(θ). Shunday qilib, biz F = K(θ) ekanligiga ega bo‘ldik. 6.2.4-ta’rif. Bizga K ⊂ F chekli kengaytma berilgan bo‘lsin. Agar K maydonda keltirilmas bo‘lib, F maydonda kamida bitta ildizga ega bo‘lgan ixtiyoriy ko‘phad F maydonda chiziqli ko‘paytuvchilarga ajralsa, u holda K ⊂ F kengaytmaga normal kengaytma deyiladi. √3 3 6.2.1-misol. Q ⊂ Q(√2) kengaytma normal bo‘lib, Q ⊂ Q(√3 2) kengaytma esa normal emas, chunki Q( 2) maydonda yechimga ega bo‘lgan x −2 ko‘phad chiziqli ko‘paytuvchilarga ajralmaydi. Agar K maydondagi α va β algebraik elementlarning minimal ko‘phadlari ustma-ust tushsa, u holda ushbu algebraik elementlar qo‘shma elementlar deb ataladi. Boshqacha qilib aytganda, algebraik elementlar bitta keltirilmas ko‘phadning ildizi bo‘lsa, u holda ular qo‘shma deyiladi. Bundan foydalanib, nor- mal kengaytmaning qo‘shma elementlar orqali beriluvchi quyidagi ta’rifini hosil qilamiz. 6.2.5-ta’rif. K ⊂ F chekli kengaytma berilgan bo‘lsin. Agar ixtiyoriy α ∈ F elementning qo‘shmasi yana F maydonga tegishli bo‘lsa, u holda ushbu kengaytma normal kengaytma deyiladi. Quyidagi teoremada normal kengaytma bilan ko‘phadning yoyilish maydoni orasidagi bog‘liqlikni keltiramiz. 6.2.2-teorema. K maydonning ixtiyoriy normal kengaytmasi shu maydon ustidagi qandaydir f (x) ko‘phadning yoyilish maydoni bilan ustma-ust tushadi. Va aksincha, K maydon ustidagi ixtiyoriy f (x) ko‘phadning yoyilish maydoni K maydonning normal kengaytmasi bo‘ladi. Isbot. Aytaylik, K ⊂ F kengaytma normal kengaytma bo‘lsin. U holda F maydon K ustida chekli bo‘lib, shunday α1, α2, . . . , αn ∈ F elementlar uchun F = K(α1, α2, . . . , αn) bo‘ladi. Agar, αi elementlarga mos keluvchi fi(x) minimal keltirilmas ko‘phadlarni qarasak, u holda K ⊂ F kengaytma normal bo‘lganligi uchun ushbu fi(x) ko‘phadlar F maydonda chiziqli ko‘paytuvchilarga yoyiladi. Bundan esa, f (x) = f1(x)f2(x) . . . fn(x) ko‘phad ham F maydonda chiziqli ko‘paytuvchilarga yoyilishi kelib chiqadi. De- mak, F maydon f (x) ko‘phadning yoyilish maydonini o‘z ichiga oladi. Ikkinchi tomondan esa, α1, α2, . . . , αn elementlar f (x) ko‘phadning ildizlari bo‘lganligi uchun f (x) ko‘phadning yoyilish maydoni K(α1, α2, . . . , αn) maydonni ya’ni F maydonni o‘z ichiga oladi. Shunday qilib, F maydon f (x) ko‘phadning yoyilish maydoni bilan ustma-ust tushishini ko‘rsatdik. Endi teoremaning ikkinchi qismini ya‘ni tasdiqning teskarisi o‘rinli ekanligini ko‘rsatamiz. Aytaylik, F maydon K maydon ustidagi biror f (x) ko‘phadning yo- yilish maydoni bo‘lsin. U holda F maydoning ixtiyoriy elementi f (x) ko‘phadning α1, α2, . . . , αn ildizlari orqali ifodalanadi. Ya’ni ixtiyoriy β ∈ F element uchun qandaydir g(x1, x2, . . . , xn) ko‘phad topilib, β = g(α1, α2, . . . , αn) tenglik o‘rinli. Ushbu g(x1, x2, . . . , xn) ko‘phadning o‘zgaruvchilari o‘rinlarini almashtirish orqali yangi ko‘phadlarni hosil qilamiz. Ma’lumki, x1, x2, . . . , xn elementlarning o‘rin almashtirishlar soni n! ta bo‘lganligi uchun g(x1, x2, . . . , xn) ko‘phad yordamida jami n! ta gϕi (x1, x2, . . . , xn) ko‘phadlar hosil qilinadi, bu yerda ϕi element Sn o‘rin almashtirishlar gruppasining elementi. Quyidagi ko‘phadni qaraymiz Y n! G(x) = (x − gϕi (α1, α2, . . . , αn)). i=1 Ta’kidlash joizki, G(x) ko‘phadning barcha koeffitsiyentlari o‘zgaruvchilari α1, α2, . . . , αn bo‘lgan simmetrik ko‘phadlardan iborat bo‘ladi. Ixtiyoriy sim- metrik ko‘phad, elementar simmetrik ko‘phadlar orqali ifodalanganligi va elemen- tar simmetrik ko‘phadlarning α1, α2, . . . , αn ildizlardagi qiymatlari K maydonda yotganligi uchun G(x) ko‘phadning barcha koeffitsiyentlari ham K maydonga te- gishli bo‘ladi. Bundan tashqari, β = g(α1, α2, . . . , αn) element G(x) ko‘phadning ildizi bo‘lib, β elementga mos keluvchi h(x) minimal ko‘phad G(x) ko‘phad bilan umumiy ildizga ega. Bundan esa, G(x) ko‘phadning h(x) minimal ko‘phadga bo‘linishi ke- lib chiqadi. Bu esa, h(x) ko‘phadning ixtiyoriy ildizi G(x) ko‘phadning ham ildizi bo‘lishini, aniqroq qilib aytganda gϕi (α1, α2, . . . , αn) kabi ifodalanishini anglatadi. Ya’ni h(x) ko‘phadning qolgan ildizlari ham F maydonda yotadi. Shunday qilib, biz F maydonning ixtiyoriy β elementiga qo‘shma elementning yana F maydonga tegishli ekanligini hosil qildik. K ⊂ F kengaytma chekli bo‘lganligi uchun uning normalligi kelib chiqadi. Normal kengaytma uchun tranzitivlik xossasi umuman olganda o‘rinli emas, ya’ni, K ⊂ F va F ⊂ P kengaytmalar normal ekanligidan K ⊂ P kengaytmaning normal ekanligi har doim ham kelib chiqavermaydi. 6.2.2-misol. K = Q, F = Q(√2) va P = Q(√4 2) bo‘lsin. Ma’lumki, Q(√2) maydon Q ratsional sonl√ar maydoni √ustidagi x2 − 2 ko‘phadning y√oyilish maydoni bo‘lib, o‘z navbatida Q( 4 2) esa Q√( 2) may√don ustida√gi x2 − 2 ko‘phadning yoyilish maydonidir. Ya’ni Q ⊂ Q( 2)√va Q( 2) ⊂ Q( 4 2) kengaytmalar normal √ kengaytmalar bo‘ladi. Lekin Q ⊂ Q( 4 2) kengaytma normal kengaytma emas, √ √ chunki Q( 4 2) maydon ratsional sonlar maydoni ustida keltirilmas bo‘lgan x4 − 2 ko‘phadning ildizlaridan biri 4 2 sonini o‘z ichiga olib, boshqa bir ildiz i 4 2 esa ushbu maydonga tegishli emas. Quyidagi tasdiqda esa tranzitivlik xossasi o‘rinli bo‘lishining zaruriy va yetarlilik shartini keltiramiz. 6.2.2-tasdiq. Bizga K ⊂ F va F ⊂ P normal kengaytmalar berilgan bo‘lsin. K ⊂ P kengaytmaning normal bo‘lishi uchun K maydonda shunday f (x) ko‘phad topilib, f (x) ko‘phadning F maydon ustidagi yoyilish maydoni P maydon bilan ustma-ust tushishi zarur va yetarli. Download 0,99 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2025
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling