Abstrakt algebra
Download 0,99 Mb.
|
ABSTRAKT ALGEBRA(oquv qollanma)
- Bu sahifa navigatsiya:
- 6.4.2-tasdiq.
6.4.1-tasdiq. K ⊂ F maydonlarning orasidagi ixtiyoriy L maydon uchun Gal(F, L) Galua gruppasi Gal(F, K) Galua gruppasining qism gruppasi bo‘ladi va uning tartibi [F : L] ga teng.
Isbot. Gal(F, L) Galua gruppasining elementlari L maydonning barcha el- ementlarini o‘z joyida qoldiruvchi avtomorfizmlar to‘plamidan iborat bo‘lganligi va K ⊂ L ekanligi uchun ixtiyoriy ϕ ∈ Gal(F, L) element K maydonning barcha elementlarini o‘z joyida qoldiradi. Demak, ϕ ∈ Gal(F, K), ya’ni Gal(F, L) ⊂ Gal(F, K). Ushbu Gal(F, L) grup- paning tartibi [F : L] ga teng ekanligi esa, 6.3.1-natijadan kelib chiqadi. Endi Gal(F, K) Galua gruppasining ixtiyoriy H qism gruppasi uchun quyidagi to‘plamni aniqlaymiz FH = {a ∈ F | ϕ(a) = a, ∀ ϕ ∈ H}. Ya’ni FH to‘plam F maydonning H avtomorfizmlar qism to‘plamining ixtiyoriy avtomorfizmida o‘zgarishsiz qoladigan elementlaridan iborat to‘plam. Ravshanki, ushbu FH to‘plam ham maydon bo‘lib, K ⊂ FH ⊂ F munosabat o‘rinli. 6.4.2-tasdiq. Gal(F, FH) = H. Isbot. Aytaylik, F = FH(θ) va |H| = m bo‘lib, H gruppaning elementlari ϕ1 = id, ϕ2, . . . , ϕm bo‘lsin. Quyidagi ko‘phadni qaraymiz Y m h(x) = (x − ϕi(θ)). i=1 Ma’lumki, ushbu ko‘phadning ildizlari ϕ1(θ) = θ, ϕ2(θ), . . . , ϕm(θ) (6.1) elementlardan iborat bo‘ladi. Ixtiyoriy ψ ∈ H avtomorfizm uchun ψ(ϕ1(θ)) = ψ(θ), ψ(ϕ2(θ)), . . . , ψ(ϕm(θ)) (6.2) elementlarni qarasak, ψϕ1, ψϕ2, . . . , ψϕm avtomorfizmlar H gruppaning barcha elementlarini berganligi uchun ushbu elementlar (6.1) elementlar bilan ustma- ust tushadi. Boshqacha qilib aytganda, ixtiyoriy ψ ∈ H avtomorfizm uchun h(x) ko‘phadning ildizlari faqat o‘rinlarini almashtiradi. Demak, o‘zgaruvchilari ϕ1(θ), ϕ2(θ), . . . , ϕm(θ) bo‘lgan ixtiyoriy simmetrik ko‘phadning qiymati ixti- yoriy ψ avtomorfizmda o‘zgarishsiz qoladi. h(x) ko‘phadning barcha koef- fitsiyentlari o‘zgaruvchilari ϕ1(θ), ϕ2(θ), . . . , ϕm(θ) bo‘lgan elementar simmetrik ko‘phadlardan iborat bolganligi uchun h(x) ko‘phadning barcha koeffitsiyentlari ixtiyoriy ψ ∈ H avtomorfizmda o‘zgarishsiz qoladi. Demak, h(x) ko‘phadning koeffitsiyentlari FH maydonga tegishli, ya’ni h(x) ko‘phad FH maydondagi ko‘phad bo‘ladi. Ushbu h(x) ko‘phad θ ildizga ega bo‘lganligi uchun θ elementning f (x) minimal ko‘phadi h(x) ko‘phadning bo‘luvchisi bo‘ladi. Bundan esa, deg(f (x)) ≤ deg(h(x)) = m kelib chiqib, [F : FH] ≤ deg(f (x)) ≤ m ekanligini hosil qilamiz. Endi FH maydon uchun Gal(F, FH) Galua gruppasini qarasak, |Gal(F, FH)| = [F : FH] bo‘lib, ikkinchi tomondan esa, Gal(F, FH) Galua gruppasi FH maydonning barcha elementlarini o‘z joyida qoldiruvchi avtomorfizmlardan iborat, ya’ni H gruppaning barcha elementlarini o‘z ichiga oladi. Demak, |Gal(F, FH)| ≥ m. Shunday qilib, biz Gal(F, FH) = H ekanligiga ega bo‘ldik. Endi K ⊂ F maydonlarning orasidagi ixtiyoriy L maydon uchun H = Gal(F, L) gruppani olib, FH maydonni qaraymiz. Ma’lumki, L ⊂ FH bo‘lib, [F : L] = [F : FH] · [FH : L] tenglik o‘rinli. Ikkinchi tomondan esa, [F : FH] = |Gal(F, FH)| = |H| = |Gal(F, L)| = [F : L] ekanligidan [FH : L] = 1 kelib chiqadi. Demak, biz quyidagi natijaga ega bo‘lamiz. Download 0,99 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2025
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling