Abstrakt algebra
Download 0,99 Mb.
|
ABSTRAKT ALGEBRA(oquv qollanma)
- Bu sahifa navigatsiya:
- 5.5.1-tasdiq.
- 5.5.1-natija.
- 5.5.2-tasdiq.
- 5.5.3-tasdiq.
|
5.5.1-misol. Z2 ⊕ Z3 halqaning elementlari
(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2) ko‘rinishida bo‘lib, (0, 0) halqaning nol elementi, (1, 1) esa halqaning birlik ele- menti bo‘ladi. Ta’kidlash joizki, ushbu halqa Z6 halqaga izomorf, chunki, quyidagicha aniqlan- gan f (0, 0) = 0, f (1, 1) = 1, f (0, 2) = 2 f (1, 0) = 3, f (0, 1) = 4, f (1, 2) = 5 akslantirish Z2 × Z3 halqani Z6 halqaga o‘tkazuvchi izomorfizm bo‘ladi. Quyidagi tasdiqda esa, n va m sonlar o‘zaro tub bo‘lgan holda Zn ⊕ Zm halqa- ning Znm halqaga izomorf ekanligini ko‘rsatamiz. 5.5.1-tasdiq. Agar n va m sonlari o‘zaro tub bo‘lsa, u holda Zn ⊕ Zm va Znm halqalar izomorf. Isbot. Tasdiqni isbotlash uchun Zn ⊕ Zm halqadan Znm halqaga izomorfizm quramiz. Ma’lumki, f izomorfizm nol elementni nol elementga birlik elementni birlik elementga o‘tkazadi. Shuning uchun f (0, 0) = 0, f (1, 1) = 1. Endi Zn ⊕ Zm halqaning a = (1, 1) elementini olib, ` ˛¸ x (0, 0), a, a + a, a + a + a, . . . , a + a + · · · + a n+m−1 ta elementlarni qarab chiqsak, n va m sonlari o‘zaro tub bo‘lganligi uchun ushbu ele- mentlar turli bo‘lib, ular Zn⊕Zm halqaning barcha elementlarini beradi. Agar Znm k ta halqaning k elementini a` + a +˛¸· · · + ax elementga mos qo‘yuvchi akslantirishni qarasak, ushbu akslantirish Znm halqani Zn ⊕ Zm halqaga o‘tkazuvchi o‘zaro bir qiymatli akslantirish bo‘lib, qo‘shish va ko‘paytirish amallarini saqlaydi. Demak, ushbu akslantirish izomorfizm bo‘ladi. Ya’ni Zn ⊕ Zm ∼= Znm. Yuqoridagi tasdiqdan ko‘rinadiki, Znm halqaning k elementini Zn ⊕ Zm halqa- ning (k(mod n), k(mod m)) elementiga o‘tkazuvchi f : Znm → Zn⊕Zm akslantirish izomorfizm bo‘ladi. Ushbu tasdiqni umumlashtirgan holda quyidagi natijaga ega bo‘lamiz. 5.5.1-natija. Agar juft-jufti bilan o‘zaro tub bo‘lgan n1, n2, . . . , ns butun sonlar berilgan bo‘lsa, u holda Zn1 ⊕Zn2 ⊕· · ·⊕Zns halqa Zn1n2...ns halqaga izomorf bo‘ladi. Bizga A va B halqalar va ularning R = A⊕ B to‘g‘ri yig‘indisi berilgan bo‘lsin. U holda I1 = {(a, 0) | a ∈ A} va I2 = {(0, b) | b ∈ B} to‘plamlar A × B halqaning ideallari bo‘lib, I1 ∩ I2 = {(0, 0)} bo‘ladi. Bundan tashqari, R = A ⊕ B halqaning ixtiyoriy x ∈ R elementini yagona ravishda x = y + z, y ∈ I1, z ∈ I2 kabi ifodalash mumkin. 5.5.2-tasdiq. Agar R halqaning I1 va I2 ideallari berilgan bo‘lib, I1 ∩ I2 = {0} va ixtiyoriy x ∈ R elementni x = y + z, y ∈ I1, z ∈ I2 kabi ifodalash mumkin bo‘lsa, u holda R ∼= I1 ⊕ I2 bo‘ladi. Isbot. Agar I1 ∩ I2 = {0} ekanligidan foydalansak, ixtiyoriy x ∈ R elementni x = y + z, y ∈ I1, z ∈ I2 kabi yagona ravishda ifodalash mumkinligi kelib chiqadi. Chunki, agar x = y1 + z1 = y2 + z2 bo‘lsa, u holda y1 − y2 = z2 − z1 ∈ I1 ∩ I2 = {0}. Bundan esa, y1 = y2 va z1 = z2 kelib chiqadi. Bundan foydalangan holda R halqadan I1 ⊕ I2 halqaga f (x) = (y, z) kabi akslantirish aniqlaymiz, bu yerda x = y + z, y ∈ I1, z ∈ I2. Ushbu f : R → I1 ⊕ I2 akslantirish biyektiv akslantirish bo‘ladi. Endi uning gomomorfizm ekanligini ko‘rsatamiz. Agar x1, x2 ∈ R elementlar berilib, x1 = y1 + z1, x2 = y2 + z2, bo‘lsa, u holda x1 + x2 = y1 + z1 + y2 + z2 = (y1 + y2) + (z1 + z2), x1 · x2 = (y1 + z1) · (y2 + z2) = y1 · y2 + y1 · z2 + z1 · y2 + z1 · z2 = y1 · y2 + z1 · z2. Bundan esa f (x1+x2) = f y1+y2+z1+z2 = (y1+y2, z1+z2) = (y1, z1)+(y2+z2) = f (x1)+f (x2), f (x1 · x2) = f y1 · y2 + z1 · z2 = (y1 · y2, z1 · z2) = (y1, z1) · (y2, z2) = f (x1) · f (x2) kelib chiqadi. Demak, f akslantirish biyektiv gomomorfizm, ya’ni izomorfizm bo‘ladi. Agar A va B halqalar birlik elementli halqalar bo‘lsa, u holda (1, 0) va (0, 1) elementlar A ⊕ B halqaning idempotent elementlari bo‘lib, ularning yig‘indisi A ⊕ B halqaning birlik elementi bo‘ladi. Ya’ni, e = (1, 0) deb belgilasak, e va 1 − e elementlar A ⊕ B halqaning idempotent elementlari bo‘lib, A ∼= eR, B ∼= (1 − e)R. Boshqacha qilib aytganda, R ∼= eR ⊕ (1 − e)R munosabat o‘rinli. Shunday qilib, biz agar R halqa birlik elementli A va B halqalarning to‘g‘ri yig‘indisidan iborat bo‘lsa, u holda R halqadagi e = (1, 0) idempotent element uchun R ∼= eR ⊕ (1 − e)R munosabat o‘rinli ekanligini ko‘rsatdik. Quyidagi tasdiqda esa, ushbu munosabatning teskarisi ham o‘rinli ekanligini ko‘rsatamiz. 5.5.3-tasdiq. Agar birlik elementli kommutativ R halqa e idempotent elementga ega bo‘lsa, u holda R halqa eR va (1−e)R halqalarning to‘g‘ri yig‘indisiga izomorf bo‘ladi. Isbot. Bizga R halqaning e idempotent elementi berilgan bo‘lsin, u holda 1−e element ham idempotent bo‘ladi, chunki, (1 − e)(1 − e) = 1 − e − e + e2 = 1 − e − e + e = 1 − e. Endi eR va (1 − e)R to‘plamlarni qarasak, R halqa kommutativ bo‘lganligi uchun ular ideal tashkil qiladi. Bundan tashqari, ixtiyoriy x ∈ R elementni x = ex + x − ex = ex + (1 − e)x kabi eR va (1 − e)R ideallardan olingan ex va (1 − e)x elementlarning yig‘indisi shaklida ifodalash mumkin. Endi, eR ∩ (1 − e)R = {0} ekanligini ko‘rsatamiz. Aytaylik, a ∈ eR ∩ (1 − e)R bo‘lsin, u holda shunday b, c ∈ R elementlar topilib, a = eb va a = (1 − e)c. Bu tengliklardan esa, ea = e2b = eb = a va ea = e(1 − e)c = (e − e)c = 0 ekanligini, ya’ni a = 0 bo‘lishini hosil qilamiz. Demak, eR ∩ (1 − e)R = {0} va 5.5.2-tasdiqqa ko‘ra R ∼= eR ⊕ (1 − e)R kelib chiqadi. Ta’kidlash joizki, 5.5.3-tasdiq R birlik elementli halqa kommutativ bo‘lmasdan, e idempotent R halqaning markaziga tegishli bo‘lgan holda ham o‘rinli bo‘ladi. Chunki, agar e ∈ C(R) bo‘lsa, u holda R halqa kommutativ bo‘lmasa ham eR va (1 − e)R to‘plamlarning ikki yoqlama ideal ekanligi kelib chiqadi.
|
