Abstrakt algebra

Tenglamalarning radikallarda yechilishi

Bizga K maydonda f (x) separabel ko‘phad berilgan bo‘lib, F maydon esa K may- don ustidagi f (x) ko‘phadning yoyilish maydoni bo‘lsin.
6.5.1-ta’rif. K maydondagi f (x) ko‘phadning Galua gruppasi deb, Gal(F, K) gruppaga aytiladi, bu yerda F maydon K maydon ustidagi f (x) ko‘phadning yoyi- lish maydoni.
Aytaylik, f (x) ko‘pdanning ildizlari α₁, α₂, . . . , α_n bo‘lsin. Ma’lumki, Galua gruppasining har bir ϕ ∈ Gal(F, K) elementi va ixtiyoriy α_i ildiz uchun ϕ(α_i)

element yana f (x) ko‘phadning ildizi bo‘ladi. ϕ avtomorfizm o‘zaro bir qiymatli akslantirish bo‘lganligi va α₁, α₂, . . . , α_n ildizlar turli xil ekanligi uchun ushbu ϕ avtomorfizmni S_n gruppaning elementi sifatida qarasa bo‘ladi. Demak, darajasi n ga teng bo‘lgan f (x) ko‘phadning Galua gruppasini S_n gruppaning qism gruppasi sifatida qarash mumkin.

Biz dastlab, xarakteristikasi 3 dan farqli bo‘lgan ixtiyoriy maydonda berilgan kubik ko‘phadning Galua gruppasini o‘rganamiz. Ma’lumki, ixtiyoriy
f (x) = x³ + βx² + γx + δ



3
kubik ko‘phadni x = u − ^β kabi almashtirish bajarib, g(x) = x³ + bx + c shaklga
keltirish mumkin. Shuning uchun biz g(x) = x³ + bx + c ko‘phadning Galua gruppasini o‘rganish bilan chegaralanamiz.
Aytaylik, g(x) = x³ + bx + c ko‘phad K maydon ustida keltirilmas bo‘lsin, u holda ushbu ko‘phad K maydonda ildizga ega bo‘lmasdan, K maydon ustidagi g(x) ko‘phadning yoyilish maydonida α₁, α₂, α₃ ildizlarga ega bo‘ladi. Demak,
g(x) = (x − α₁)(x − α₂)(x − α₃)

hamda


α₁ + α₂ + α₃ = 0, α₁α₂ + α₁α₃ + α₂α₃ = b, α₁α₂α₃ = −c.

Quyidagi belgilashlarni kiritamiz

d = (α₂ − α₁)(α₃ − α₁)(α₃ − α₂), D = d² = (α₂ − α₁)²(α₃ − α₁)²(α₃ − α₂)².
U holda ∀ϕ ∈ Gal(F, K) avtomorfizm uchun ϕ(D) = D hamda ϕ(d) = d yoki
ϕ(d) = −d bo‘ladi. Bundan tashqari, D = −4b³ − 27c² munosabat o‘rinli.
6.5.1-teorema. Aytaylik, g(x) = x³ +bx +c ko‘phad K maydon ustida keltirilmas va separabel bo‘lib, F maydon K maydon ustidagi f (x) ko‘phadning yoyilsih may- doni bo‘lsin. Agar D soni K maydonda biror sonning kvadrati shaklida ifodalansa,
^{u holda Gal(F, K) ∼}= ^{A3, aks holda Gal(F, K) ∼}= ^S3.
Isbot. D = −4b³ − 27c² bo‘lganligi uchun D ∈ K. Aytaylik, D soni K may- donda biror sonning kvadrati shaklida ifodalansin, ya’ni d ∈ K bo‘lsin, u holda ixtiyoriy ϕ ∈ Gal(F, K) uchun ϕ(d) = d bo‘lib, Gal(F, K) gruppa S₃ o‘rin al- mashtirishlar gruppasining faqat juft o‘rin almashtirishlarini o‘z ichiga oluvchi qism gruppasiga izomorf bo‘ladi. f (x) kop‘hadning ildizlari turli xil bo‘lganligi
^{uchun Gal(F, K) /= {e}. Demak, Gal(F, K) ∼}= ^A3.
Agar D soni K maydonda biror sonning kvadrati shaklida ifodalanmasa, u
holda d ∈/ K bo‘lib, Gal(F, K) Galua gruppasining tartibi 3 dan katta va u S₃

gruppaning toq o‘rin almashtirishlarni ham o‘z ichiga oluvchi qism gruppasiga ^{izomorf. Demak, Gal(F, K) ∼}= ^S3.
Endi biror K maydonda f (x) = xⁿ − 1 ko‘phadni qaraymiz. Ma’lumki ushbu
ko‘phadning ildizlari birning n-darajali ildizlari deb ataladi. Ushbu ko‘phad uchun
(xⁿ − 1) = (x − 1)(xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻² + · · · + 1)
tenglik o‘rinli bo‘lib, x = 1 element ushbu tenglamaning eng sodda ildizi, qolgan ildizlari esa xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻² + · · · + 1 ko‘phadning ildizlaridan iborat bo‘ladi.
Xususan, K maydon kompleks sonlar maydoning qism maydoni bo‘lsa, u holda
f (x) = xⁿ − 1 ko‘phadning ildizlari

ξ_k = cos

ko‘rinishida bo‘ladi.

2πk
+ isin
n
2πk
_n , k = 0, 1, . . . n − 1

Kompleks sonlar maydoni ustida bo‘lgani kabi ixtiyoriy K maydondagi bir- ning n-darajali ildizlari to‘plami ko‘paytirish amaliga nisbatan gruppa tashkil qi- ladi. Ushbu gruppaning tashkil qiluvchi elementlari esa birning n-darajali bosh- lang‘ich ildizlari deb ataladi. Demak, ζ element birning n-darajali boshlang‘ich ildizi bo‘lishi uchun {ζ^k | 0 ≤ k ≤ n−1} to‘plam birning barcha n-darajali ildizlari to‘plami bilan ustma-ust tushishi zarur va yetarli. K maydonnni ζ boshlang‘ich ildiz bo‘yicha kengaytmasi F = K(ζ) maydon birning barcha n-darajali ildizla- rini o‘z ichiga olganligi uchun, K(ζ) maydon K maydon ustidagi f (x) = xⁿ − 1 ko‘phadning yoyilish maydoni bo‘ladi.
6.5.1-tasdiq. f (x) = xⁿ − 1 ko‘phadning Galua gruppasi kommutativdir.
Isbot. Aytaylik, ζ element birning n-darajali boshlang‘ich ildizi bo‘lsin. U holda f (x) ko‘phadning Galua gruppasi Gal(K(ζ), K) bo‘lib, ixtiyoriy ψ ∈ Gal(K(ζ), K) avtomorfizm uchun ψ(ζ) element yana f (x) ko‘phadning ildizi bo‘ladi. Demak, qandaydir k soni uchun ψ(ζ) = ζ^k tenglik o‘rinli. Agar ζ^k element boshlang‘ich ildiz bo‘lmasa, u holda qandaydir m < n uchun (ζ^k)^m = 1. Berilgan ψ avtomorfizmning teskarisini qarasak, ζ = ψ⁻¹(ζ^k) bo‘lib, ζ^m = ψ⁻¹((ζ^k)^m) = 1. Bu esa, ζ elementning boshlang‘ich ildiz ekanligiga zid, ya’ni ζ^k element bosh- lang‘ich ildiz. Demak, k va n sonlari o‘zaro tub.
Shunday qilib, biz har bir avtomorfizm uchun ζ boshlang‘ich ildizni ζ^k ga o‘tkazuvchi k elementni mos qo‘yamiz. Ushbu k soni n modul bo‘yicha aniqlani- shini hisobga olsak, biz Gal(K(ζ), K) grupppadan U_n gruppaga bo‘lgan Ψ(ψ) = k kabi aniqlanuvchi gomomorfizmni hosil qilamiz, bu yerda U_n gruppa Z_n che- girmalar halqasining teskarilanuvchi elementlaridan iborat multiplikativ gruppa. Ψ(ψ) = 1 bo‘lishidan ψ avtomorfizmning ayniy ekanligi kelib chiqqanligi uchun

Ψ : Gal(K(ζ), K) → U_n gomorfizm monomorfizm bo‘ladi. Demak, Galua grup- pasi U_n gruppaning qism gruppasiga izomorf. U_n gruppa kommutativ ekanligidan Gal(K(ζ), K) Galua gruppasining ham kommutativligi kelib chiqadi.
6.5.1-tasdiq isbotidan ko‘rinadiki, f (x) = xⁿ − 1 ko‘phad Galua gruppasi-
ning tartibi U_n gruppa tartibining bo‘luvchisi bo‘ladi. U_n gruppaning tartibi ϕ(n)−Eyler funksiyasining qiymatiga tengligidan Galua gruppasining tartibi ϕ(n) ning bo‘luvchisi ekanligi kelib chiqadi.
6.5.2-ta’rif. Xarakteristikasi nolga teng K maydon ustidagi f (x) = xⁿ − c ko‘phadning yoyilish maydoniga K maydonning sodda radikal kengaytmasi deb ataladi, bu yerda c ∈ K va c /= 0.
Ta’kidlash joizki, K maydonning xarakteristikasi nolga teng bo‘lganligi uchun f (x) = xⁿ − c ko‘phad separabel ko‘phad bo‘ladi. Ushbu f (x) ko‘phadning ildi- zlari ζ^kθ ko‘rinishida bo‘lib, K maydon ustidagi f (x) ko‘phadning yoyilish may- doni esa F = K(ζ, θ) maydondan iborat bo‘ladi, bu yerda ζ – birning n-darajali boshlang‘ich ildizi, θ esa f (x) ko‘phadning biror fiksirlangan ildizi.
6.5.2-teorema. Sodda radikal kengaytmaning Galua gruppasi yechiluvchan bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, F = K(ζ, θ) bo‘lsin. 6.5.1-tasdiqning isboti kabi ixtiyoriy ψ ∈ Gal(F, K) avtomorfizm uchun ψ(ζ) = ζ^k shartni qanoatlanturuvchi k sonini mos qo‘yish mumkin. Bundan tashqari, θ element f (x) ko‘phadning ildizi bo‘lganligi uchun f (θ) ham shu ko‘phadning ildizi bo‘ladi. Bundan esa, ψ(θ) = ζ^mθ tenglik o‘rinli bo‘ladigan m soni mavjudligi kelib chiqadi. Demak, ixtiyoriy ψ ∈ Gal(F, K) avtomorfizmga (k, m) juftlikni mos qo‘yish mumkin.
Endi bu moslikni har bir komponentasi bo‘yicha n-modul aniqligida yagona ekanligini ko‘rsatamiz. Aytaylik, (k, m) va (k₁, m₁) juftliklar bitta ψ avtomor- fizmga mos kelsin. U holda
ψ(ζ) = ζ^k = ζ^k1 , ψ(θ) = ζ^mθ = ζ^m1 θ.
Bundan esa, ζ^k−k1 = 1 va ζ^m−m1 = 1 ekanligi ya’ni k − k₁ va m − m₁ sonlari n ga bo‘linishi kelib chiqadi. Demak, k ∈ U_n va m ∈ Z_n bo‘lib, biz Gal(F, K) gruppani U_n ×Z_n to‘plamga otkazuvchi inyektiv akslantirishga ega bo‘lamiz. Endi U_n × Z_n to‘plamda quyidagicha amal aniqlaymiz
(k₁, m₁) ◦ (k₂, m₂) = (k₁k₂, k₂m₁ + m₂).
U holda U_n × Z_n to‘plam ushbu amalga nisbatan gruppa tashkil qilib, bu gruppani M_n kabi belgilaymiz. Ushbu M_n gruppaning birlik elementi (1, 0) bo‘lib, (k, m) elementning teskarisi esa (k⁻¹, −k⁻¹m) bo‘ladi.
Agar H = {(1, m) | m ∈ Z_n} to‘plamni qarasak, ushbu to‘plam M_n gruppaning ^{normal qism gruppasi bo‘lib, kommutativ bo‘ladi. Bundan tashqari, Mn/H ∼}= ^Un
ekanligidan faktor gruppaning ham kommutativ ekanligi kelib chiqadi. Demak,