Abstrakt algebra

6.4.1-tasdiq. K ⊂ F maydonlarning orasidagi ixtiyoriy L maydon uchun Gal(F, L) Galua gruppasi Gal(F, K) Galua gruppasining qism gruppasi bo‘ladi va uning tartibi [F : L] ga teng.
Isbot. Gal(F, L) Galua gruppasining elementlari L maydonning barcha el- ementlarini o‘z joyida qoldiruvchi avtomorfizmlar to‘plamidan iborat bo‘lganligi va K ⊂ L ekanligi uchun ixtiyoriy ϕ ∈ Gal(F, L) element K maydonning barcha elementlarini o‘z joyida qoldiradi.
Demak, ϕ ∈ Gal(F, K), ya’ni Gal(F, L) ⊂ Gal(F, K). Ushbu Gal(F, L) grup- paning tartibi [F : L] ga teng ekanligi esa, 6.3.1-natijadan kelib chiqadi.
Endi Gal(F, K) Galua gruppasining ixtiyoriy H qism gruppasi uchun quyidagi to‘plamni aniqlaymiz

F_H = {a ∈ F | ϕ(a) = a, ∀ ϕ ∈ H}.

Ya’ni F_H to‘plam F maydonning H avtomorfizmlar qism to‘plamining ixtiyoriy avtomorfizmida o‘zgarishsiz qoladigan elementlaridan iborat to‘plam. Ravshanki, ushbu F_H to‘plam ham maydon bo‘lib, K ⊂ F_H ⊂ F munosabat o‘rinli.
6.4.2-tasdiq. Gal(F, F_H) = H.


Isbot. Aytaylik, F = F_H(θ) va |H| = m bo‘lib, H gruppaning elementlari
ϕ₁ = id, ϕ₂, . . . , ϕ_m
bo‘lsin. Quyidagi ko‘phadni qaraymiz

Y
m
h(x) = (x − ϕ_i(θ)).
i=1
Ma’lumki, ushbu ko‘phadning ildizlari
ϕ₁(θ) = θ, ϕ₂(θ), . . . , ϕ_m(θ) (6.1)
elementlardan iborat bo‘ladi. Ixtiyoriy ψ ∈ H avtomorfizm uchun
ψ(ϕ₁(θ)) = ψ(θ), ψ(ϕ₂(θ)), . . . , ψ(ϕ_m(θ)) (6.2)
elementlarni qarasak, ψϕ₁, ψϕ₂, . . . , ψϕ_m avtomorfizmlar H gruppaning barcha elementlarini berganligi uchun ushbu elementlar (6.1) elementlar bilan ustma- ust tushadi. Boshqacha qilib aytganda, ixtiyoriy ψ ∈ H avtomorfizm uchun h(x) ko‘phadning ildizlari faqat o‘rinlarini almashtiradi. Demak, o‘zgaruvchilari ϕ₁(θ), ϕ₂(θ), . . . , ϕ_m(θ) bo‘lgan ixtiyoriy simmetrik ko‘phadning qiymati ixti- yoriy ψ avtomorfizmda o‘zgarishsiz qoladi. h(x) ko‘phadning barcha koef- fitsiyentlari o‘zgaruvchilari ϕ₁(θ), ϕ₂(θ), . . . , ϕ_m(θ) bo‘lgan elementar simmetrik ko‘phadlardan iborat bolganligi uchun h(x) ko‘phadning barcha koeffitsiyentlari ixtiyoriy ψ ∈ H avtomorfizmda o‘zgarishsiz qoladi.
Demak, h(x) ko‘phadning koeffitsiyentlari F_H maydonga tegishli, ya’ni h(x) ko‘phad F_H maydondagi ko‘phad bo‘ladi. Ushbu h(x) ko‘phad θ ildizga ega bo‘lganligi uchun θ elementning f (x) minimal ko‘phadi h(x) ko‘phadning bo‘luvchisi bo‘ladi. Bundan esa, deg(f (x)) ≤ deg(h(x)) = m kelib chiqib, [F : F_H] ≤ deg(f (x)) ≤ m ekanligini hosil qilamiz.
Endi F_H maydon uchun Gal(F, F_H) Galua gruppasini qarasak, |Gal(F, F_H)| =
[F : F_H] bo‘lib, ikkinchi tomondan esa, Gal(F, F_H) Galua gruppasi F_H maydonning barcha elementlarini o‘z joyida qoldiruvchi avtomorfizmlardan iborat, ya’ni H gruppaning barcha elementlarini o‘z ichiga oladi. Demak, |Gal(F, F_H)| ≥ m. Shunday qilib, biz Gal(F, F_H) = H ekanligiga ega bo‘ldik.
Endi K ⊂ F maydonlarning orasidagi ixtiyoriy L maydon uchun H = Gal(F, L) gruppani olib, F_H maydonni qaraymiz. Ma’lumki, L ⊂ F_H bo‘lib,
[F : L] = [F : F_H] · [F_H : L]

tenglik o‘rinli.

Ikkinchi tomondan esa,
[F : F_H] = |Gal(F, F_H)| = |H| = |Gal(F, L)| = [F : L]
ekanligidan [F_H : L] = 1 kelib chiqadi. Demak, biz quyidagi natijaga ega bo‘lamiz.