Abstrakt algebra

6.4.1-misol. _√Agar_√Q ⊂ Q(^√2, ^√3) kengaytma_√ni q_√arasak, u holda 6.3.1-misolga
ko‘ra |Gal(Q( 2, 3), Q)| = 4 bo‘lib, Gal(Q( 2, 3), Q) Galu_√a gr_√uppasi Z₄ va
K₄ = {e, a, b, ab} gruppal_√ardan biri_√ga izomorf bo‘ladi. Q ⊂ Q( 2, 3) kengayt-
maning orasida ikkita Q( 2) va Q( 3) maydonlar bo‘lganligi uchun ushbu Galua
gruppasining ham ta_√rtib_√i 2 ga teng bo‘lgan kamida ikkita qism gruppasi mavjud.
^{Bundan esa Gal(Q( 2, 3), Q) ∼}= ^{K4 kelib chiqadi. Galua nazariyasining funda-}
mental teoremasiga ko‘ra qism maydonlar va qism gruppalar orasidagi quyidagicha moslikni o‘rnatish mumkin:
Q ↔ K₄, Q(^√2, ^√3) ↔ {e},
Q(^√2) ↔ {e, a}, Q(^√3) ↔ {e, b}, Q(^√6) ↔ {e, ab}.
Endi K ⊂ F kengaytma orasidagi L maydon K maydonning normal kengayt- masi bo‘lgan holni qaraymiz.
Dastlab, quyidagi tasdiqni keltiramiz.
6.4.3-tasdiq. K ⊂ F separabel va normal kengaytmada α, β ∈ F elementlar K maydonda qo‘shma bo‘lishi uchun, shunday ϕ ∈ Gal(F, K) avtomorfizm topilib, β = ϕ(α) bo‘lishi zarur va yetarli.


Isbot. Aytyaylik, β = ϕ(α) bo‘lib, f (x) ko‘phad α elementning minimal ko‘phadi bo‘lsin. Gal(F, K) Galua gruppasining ixtiyoriy avtomorfizmi K may- dondagi ixtiyoriy ko‘phad ildizini yana ildizga o‘tkazganligi uchun f (β) = 0. De- mak, α va β elementlar qo‘shma bo‘ladi.
Aksincha, agar α va β elementlar qo‘shma bo‘lsa, u holda Gal(F, K) gruppaning barcha elementlarini

deb olib,

ϕ₁ = id, ϕ₂, . . . , ϕ_n


ϕ₁(α) = α, ϕ₂(α), . . . , ϕ_n(α) (6.3)

elementlarni qaraymiz. Ixtiyoriy ψ ∈ Gal(F, K) avtomorfizm uchun
ψ(ϕ₁(α)), ψ(ϕ₂(α)), . . . , ψ(ϕ_n(α)) (6.4)
elementlarni qarasak, ushbu elementlar (6.3) elementlarning o‘rinlarini al- mashtirishdan hosil bo‘lgan elementlar bo‘ladi. Demak,

Y
n
g(x) = (x − ϕ_i(α))
i=1
ko‘phadning barcha koeffitsiyentlari ixtiyoriy ψ ∈ Gal(F, K) avtomorfizmda o‘zgarishsiz qoladi, ya’ni g(x) ko‘phad K maydonda aniqlangan ko‘phad bo‘ladi. Berilgan α element g(x) ko‘phadning ildizi bo‘lganligi uchun α elementning minimal f (x) ko‘phadi g(x) ko‘phadning bo‘luvchisi bo‘ladi. Bundan esa f (x) ko‘phadning β ildizi ham g(x) ko‘phadning ildizi ekanligi kelib chiqadi. g(x) ko‘phadning barcha ildizlari ϕ_j(α) ko‘rinishida bo‘lganligi uchun qandaydir j uchun β = ϕ_j(α).
Quyidagi teoremada normal kengaytmaga aynan normal qism gruppa mos ke- lishi ko‘rsatiladi.
6.4.2-teorema. Agar K ⊂ F separabel va normal kengaytmaning orasidagi L maydon K maydonning normal kengaytmasi bo‘lsa, u holda Gal(F, L) gruppa Gal(F, K) Galua gruppasining normal qism gruppasi bo‘ladi. Bundan tashqari, Gal(F, K) Galua gruppasining ixtiyoriy H normal qism gruppasiga mos keluvchi F_H maydon K maydonning normal kengaytmasi bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, K ⊂ L kengaytma normal bo‘lsin. U holda 6.4.3-tasdiqqa ko‘ra ixtiyoriy α ∈ L element va ϕ ∈ Gal(F, K) avtomorfizm uchun ϕ(α) element α bilan qo‘shma bo‘ladi. K ⊂ L kengaytma normal bo‘lganligi uchun α elementning qo‘shmasi yana L maydonga tegishli, ya’ni ϕ(α) ∈ L. Demak, ϕ : F → F avto- morfizmni L maydonda aniqlangan deb qarash mumkin. Aniqroq qilib aytganda,
L maydonda quyidagicha ϕ^′ akslantirishni aniqlaymiz
ϕ^′(α) = ϕ(α), ∀α ∈ L.

Ushbu ϕ^′ akslantirish L maydondagi avtomorfizm bo‘lib, K maydonning ele- mentlarini o‘zgarishsiz qoldiradi, ya’ni ϕ^′ ∈ Gal(L, K). Demak, biz Gal(F, K) gruppaning ixtiyoriy ϕ elementiga Gal(L, K) gruppaning ϕ^′ elementini mos qo‘ydik. Ushbu moslik, bu ikkita gruppa o‘rtasidagi gomomorfizmdir. Ya’ni Ψ(ϕ) = ϕ^′ kabi aniqlangan Ψ : Gal(F, K) → Gal(L, K) akslantirish uchun

Ψ(ϕ ◦ ψ) = Ψ(ϕ) ◦ Ψ(ψ)
munosabat o‘rinli. Ushbu Ψ gomomorfizmning yadrosi L maydonning barcha elementlarini o‘zgarishsiz qoldiradigan avtomorfizmlardan iborat bo‘ladi, ya’ni KerΨ = Gal(F, L). Ixtiyoriy gomomorfizmning yadrosi normal qism gruppa bo‘lganligi uchun Gal(F, L) gruppa Gal(F, K) Galua gruppasining normal qism gruppasi ekanligini hosil qilamiz. Demak, teoremaning birinchi qismi isbotlandi.
Aytaylik, Gal(F, K) Galua gruppasining ixtiyoriy H normal qism gruppasiga mos keluvchi F_H maydon berilgan bo‘lsin. H normal ekanligidan ixtiyoriy ψ ∈ H va ϕ ∈ Gal(F, K) elementlar uchun ϕ⁻¹ ◦ ψ ◦ ϕ ∈ H. Ya’ni ixtiyoriy α ∈ F_H uchun (ϕ⁻¹ ◦ ψ ◦ ϕ)(α) = α. Bundan esa, ψ(ϕ(α)) = ϕ(α) tenglikni, ya’ni ϕ(α) ∈ F_H ekanligini hosil qilamiz. Bu esa, F_H maydonning ixtiyoriy elementiga qo‘shma element yana shu maydonga tegishli ekanligini, ya’ni F_H maydonning normalligini bildiradi.
Yuqoridagi teoremadan quyidagi natijani hosil qilamiz.
6.4.2-natija. Agar K ⊂ F separabel va normal kengaytmaning orasidagi L may- don K maydonning normal kengaytmasi bo‘lsa, u holda
^{Gal(L, K) ∼}= ^{Gal(F, K)/Gal(F, L).}
Isbot. Biz yuqoridagi teorema isbotida Ψ : Gal(F, K) → Gal(L, K) go- momorfizm qurib, ushbu gomomorfizmning yadrosi Gal(F, L) ga teng ekanligini ko‘rsatdik. Agar biz ushbu gomomorfizmning syurektiv ekanligini ko‘rsatsak, u holda izomorfizm haqidagi birinchi teoremaga ko‘ra natijaning isbotiga ega bo‘lamiz. Ma’lumki,
|Ψ(Gal(F, K))| = [Gal(F, K) : Gal(F, L)],
ya’ni Ψ gomomorfizm obrazining elementlari soni Gal(F, L) qism gruppaning Gal(F, K) gruppadagi indeksiga teng.
Ikkinchi tomondan gruppalar uchun Lagranj teoremasi va 6.1.4-tasdiqqa ko‘ra

[Gal(F, K) : Gal(F, L)] = ^{|Gal(F, K)|}
|Gal(F, L)|
₌ [F : K]
[F : L]
= [L : K] = |Gal(L, K)|.

Bu esa, Ψ(Gal(F, K)) = Gal(L, K) ekanligini, ya’ni Ψ gomomorfizmning syurektivligini bildiradi.

6.4.2-misol. Aytaylik, F maydon Q maydon ustidagi x³ − 2 ko‘phadning yoyilish maydoni bo‘lsin. U holda

x³ − 2 = (x − ^√3 2)(x +
√_{3 2}


2
(1 −
^√3i))(x +
√_{3 2}


2


(1 +
^√3i))

ekanligidan F = Q(^√3 2, ^√3i) kelib chiqadi_√. Agar _√Q ⊂ Q(^√3 2) ⊂ Q(^√3 2, ^√3i)
kengaytm_√alarni qar_√asak, x³ −_√2 _√va x² + ³ 2x + ³ 4 ko‘phadlar mos ravishda

√ √
Q ⊂ Q( ³ 2) va Q( ³ 2) ⊂ Q( ³ 2, 3i) kengaytmalar uchun minimal ko‘phadlar
bo‘lganligi uchun [F : Q] = [F : Q( ³ 2)] · [Q( ³ 2) : Q] = 6. Demak, |Gal(F, Q)| = 6.
Endi ushbu Galua gruppasining elementlarini aniqlaymiz. Buning uchun x³ −2
ko‘phadning ildizlarini

1
r = ^√3 2, r
√_{3 2}

2
=
2
(−1 +
^√3i), r₃ =
√_{3 2}


2
(−1 −
^√3i)

kabi belgilab olsak, ixtiyoriy ϕ ∈ Gal(F, Q) avtomorfizmni ushbu ildizlardagi qiymatlari orqali aniqlash mumkin. Ya’ni barcha avtomorfizmlar r₁, r₂, r₃ ele- mentlarning o‘rinlarini almashtiruvchi aklantirishlardan iborat bo‘ladi. Demak, Gal(F, Q) Galua gruppasi S₃ o‘rin almashtirishlar gruppasiga izomorf.
U holda S₃ o‘rin almashtirishlar gruppasining xos qism gruppalari
H₁ = {e, (1, 2)}, H₂ = {e, (1, 3)}, H₃ = {e, (2, 3)}, H₄ = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)}

√
bo‘lganligi uchun bu qism gruppalarga mos keluvchi oraliq maydonlar quyidagicha bo‘ladi
L₁ = Q(r₁), L₂ = Q(r₂), L₂ = Q(r₃), L₄ = Q( 3i).
H₁, H₂, H₃ qism gruppalar S₃ o‘rin almashtirishlar gruppasining normal qism gurppasi bo‘lmaganligi uchun L₁, L₂, L₃ kengaytmalar ham norm_√al emas, lekin H₄
gruppa normal qism gruppa bo‘lib, unga mos keluvchi L₄ = Q( 3i) maydon ham
Q maydonning normal kengaytmasi bo‘ladi.