Abstrakt algebra

6.5.4-teorema (Galua teoremasi). f (x) = 0 tenglama radikallarda yechilishi uchun uning Galua gruppasi yechiluvchan bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriylik. Aytaylik, K maydon ustida berilgan f (x) = xⁿ+a₁xⁿ⁻¹ +
· · · + a_n−1x + a_n ko‘phad uchun f (x) = 0 tenglama radikallarda yechilsin, u holda K maydonning tenglamani barcha ildizlarini o‘z ichiga oluvchi normal radikal kengaytmasi mayjud va u K maydon ustidagi f (x) ko‘phadning yoyilish maydonini o‘z ichiga oladi. Ya’ni agar F maydon tenglamaning barcha ildizlarini o‘z ichiga oluvchi normal radikal kengaytma, L esa K maydon ustidagi f (x) ko‘phadning yoyilish maydoni bo‘lsa, u holda K ⊂ L ⊂ F.
6.5.3-tasdiqqa ko‘ra Gal(F, K) yechiluvchan gruppa bo‘lib, uning Gal(F, L) qism gruppasi ham yechiluvchan bo‘ladi. Gal(L, K) gruppa esa Gal(F, K)/Gal(F, L) faktor gruppaga izomorf bo‘lganligi uchun u ham yechiluv- chan bo‘ladi.
Yetarlilik. Aytaylik, L maydon K maydon ustidagi f (x) ko‘phadning yoyilish maydoni bo‘lib, Gal(L, K) Galua gruppasi yechiluvchan bo‘lsin. U holda yuqorida aytilgan faktga asosan (6.6.2-teoremaga qarang) L maydonni o‘z ichiga oluvchi normal radikal kengaytma mavjud. Bundan esa, f (x) = 0 tenglama radikallarda yechilishi kelib chiqadi.
6.5.1-misol. Ratsional sonlar maydoni ustida berilgan f (x) = x⁴ − 2 ko‘phadning Galua gruppasini toping.