Akslantirishlar va ularning turlari

3⁰. Ekvivalent to‘plamlar. Sanoqli to‘plamlar. Ko‘p holda to‘plamlarni ularning tashkil etgan elementlari soni bo‘yicha o‘zaro solishtirishga to‘g‘ri keladi. Chekli to‘plamlar solishtirilganda bir to‘plamning elementlari soni ikkinchisidan ko‘p, yoki kam, yoki ularning elementlarining soni bir-biriga teng degan hulosaga kelinadi. Bu holda elementlari soni ko‘p bo‘lgan to‘plamni «quvvati» ko‘proq deyish mumkin.
Cheksiz to‘plamlarni solishtirishda vaziyat boshqacharoq bo‘ladi. Cheksiz to‘plamlar ekvivalentlik tushunchasi yordami-da solishtiriladi.
7-ta’rif. Agar o‘zaro bir qiymatli akslanti-rish (moslik) bo‘lsa, va ekvivalent to‘plamlar deyiladi va kabi belgilanadi.
Demak, va to‘plamlarning ekvivalentligi ularning elementlari o‘zaro bir qiymatli moslikda ekanligini bildiradi.
Masalan,

to‘plamlar uchun
,
akslantirish o‘zaro bir qiymatli. Binobarin,

bo‘ladi. (Bu holda kabi yoziladi).
Aytaylik to‘plamlar berilgan bo‘lsin. Unda
1) ,
2) ,
3)
bo‘ladi. Bu xossalarning isboti yuqorida keltirilgan ta’rifdan kelib chiqadi.
Ikki va to‘plamlari o‘zaro ekvivalent bo‘lsa, ularni bir xil quvvatli to‘plamlar deb qaraladi.
Demak, quvvatni ekvivalent to‘plamlarning miqdoriy xarakteristikasi sifatida tushunish mumkin.
Chekli to‘plamlarning o‘zaro ekvivalentligi ularning tashkil etgan elementlarining sonini bir-biriga tengligini bildiradi.
Umuman, va chekli to‘plamlarning o‘zaro ekvivalent bo‘lishi uchun ularning elementlari soni bir xil bo‘lishi zarur va yetarli:
,
bunda to‘plamning elementlari soni.
8-ta’rif. Natural sonlar to‘plami ga ekvivalent bo‘lgan har qanday to‘plam sanoqli to‘plam deyiladi.
Masalan, ushbu



to‘plamlar sanoqli to‘plamlar bo‘ladi, chunki
;
;
.
Natural sonlar to‘plami ga ekvivalent bo‘lgan barcha to‘plamlar sanoqli to‘plamlar sinfini tashkil etadi. Bu sinf to‘plamlarining quvvati bir xil bo‘ladi.
Ravshanki,

bo‘ladi. Ayni paytda, yuqorida ko‘rdikki,
.
Bunday vaziyat (to‘plamning qismi o‘ziga ekvivalent bo‘lishi) faqat cheksiz to‘plamlardagina sodir bo‘ladi.
Matematik analiz kursida tayin va to‘plamlar uchun akslantirishlar va ularning xossalari o‘rganiladi.
Dastavval yuqoridagi to‘plamlar sifatida haqiqiy sonlar to‘plamini olamiz va uning xossalarini o‘rganamiz.