Актуальные научные исследования в современном мире iscience. In. Ua

«Актуальные научные исследования в современном мире» ISCIENCE.IN.UA__ 
134 
,
0
;
cos
;
cos
;
cos
;
;
B
l
l
z
l
y
l
x
m
m
m
l
r
r
l
r
r
П
П












(1) 
где














cos
cos
cos
l
l
l
m
l
- 
унифицированная матрица оператора 
l
. 
Можно выделить частные случаи расположения отрезка прямой в 
пространстве. Для них унифицированное описание (1) сохраняется, но 
используются конкретные унифицированные матрицы того же оператора 
l
. 
Например, на рис. 1, б показано образование отрезка прямой, лежащей в 
плоскости 
xz
, где 
0

П
r
. Действует та же унифицированная структура 
(1), но модель линии имеет другой вид: 
.
0
;
sin
;
0
;
cos
;
;
B
l
l
z
y
l
x
m
m
l
r
l
r









(2) 
Аналогично образуется отрезок дуги окружности. 
Берем точку-прообраз, заданную радиус-вектором 
П
r
. Действуем на 
нее оператором 

с параметром 

вокруг какой-либо оси координат 
(например, оси 
z
). Параметр 

ограничен углом 
max

. При 


2
max

мы получим унифицированную модель окружности. 
Унифицированная модель отрезка дуги окружности (рис. 1, в): 
,
0
;
sin
cos
;
0
;
sin
cos
;
;
max

















П
П
П
П
П
x
z
z
y
z
x
x
m
m
m
r
r
П
r
r
(3) 

---

__ ISCIENCE.IN.UA 
«Актуальные научные исследования в современном мире» ___ 
135
где 

















cos
0
sin
0
1
0
sin
0
cos
m
- 
унифицированная 
матрица оператора 

. 
а)
б)
x
z
y
в)
x
z
y
x
z
y





Рисунок 1 – Образование отрезков прямых и окружностей операторами 
l
и 

:
а – оператором 
l
в произвольном направлении, б - оператором 
l
в 
плоскости 
xz
,
в – оператором 

в плоскости 
xz
. 
Сложные, в том числе криволинейные линии, образуются не одним, а 
двумя одновременно действующими связанными операторами. При этом один 
из геометрических параметров принимается независимым, а второй связан с 
первым заданной функцией. 
Характерен пример образования плоской кривой двумя одновременно 
действующими параллельными переносами 
1
l
и 
2
l
, параметры которых 
связаны функцией 
)
(
1
2
l
f
l

, а 
0

П
r
(рис. 2). 

---

____
«Актуальные научные исследования в современном мире» ISCIENCE.IN.UA__ 
136 
Рисунок 2 – Образование отрезка плоской кривой связанными 
операторами 
1
l
и 
2
l
. 
В этом случае независимым геометрическим параметром является 
1
l
, 
и модель линии описывается уравнением: 
).
(
;
0
;
;
;
;
1
2
max
1
1
1
2
2
1
2
1
l
f
l
l
l
l
z
l
x
m
m
m
l
l
r
l
l
r









(4) 
где 

















cos
0
sin
0
1
0
sin
0
cos
m
; 











l
m
l
0
0
. 
На рисунке 3 приведены плоские отсеки с одной искусственной 
границей (отрезком прямой), характерной конструкциям инструментов, 
образованные различными унифицированными операторами.
x
z
y
l =f(l )
2
1
B
Рис.3.2. Образование отрезка плоской кривой 
связанными операторами и

---

__ ISCIENCE.IN.UA 
«Актуальные научные исследования в современном мире» ___ 
137
 
 
 
 
а
 
а)
 
 
 
Рисунок 3 – Плоские отсеки, образованные унифицированными 
операторами 
l
(
а), 

и 
c
(
б). 
Параметрическое описание отсека по рис. 3, а в унифицированной 
структуре отображения имеет вид: 
,
)
(
;
;
;
l
x
f
y
x
x
m
m
m
l
r
r
l
r
r
П
П







(5) 
где 







)
(x
f
x
m
П
r
; 








l
m
l
0
. 
2D-
модель: 
.
)
(
0
;
;
)
(
;
;
;
max
min
A
x
f
l
x
x
x
l
x
f
y
x
x
m
m
m
l
r
r
l
r
r
Ï
Ï












(6) 
Параметрическое описание отсека по рис. 3, б в унифицированной 
структуре отображения имеет вид: 
A
Естественные
 границы
Естественная
 граница
x
z
y
y=f(x)
Естественные
 границы
Искусственная
 граница
y=f (x)=const=A
1
б)
x
z
y
y=f(x)
Естественные
 границы
Искусственная
 граница
y=f (x)
1
x
z
y
y=f(x)
Искусственные
 границы
y=f (x)
1
y
=
f
(x
)
2
Искусственная
 граница
г)
в)
y
=
f
(x
)
3
x
z
y
y=f(x)
а)
y
П
z
П
c
x
z
y
x
П
y
П
z
П
c
x
z
y
а)
б)
Прообраз

---

____
«Актуальные научные исследования в современном мире» ISCIENCE.IN.UA__ 
138 












1
0
0
0
cos
sin
0
sin
cos





m
; 











0
0
c
m
c
; 











0
)
(
П
П
x
f
x
m
П
r
; 











z
y
x
m
r
. (7) 
2D-
модель: 
,
0
;
cos
)
(
sin
)
(
;
sin
)
(
cos
)
(
);
(
);
(













z
c
x
c
x
y
c
x
c
x
x
m
m
m
m
c
r
r
П
П
П
П
П
c
r
r
П






(8) 
и интервалы значений параметров: 
).
(
;
0
;
0
max
max
max
П
r
F
x
x








(9) 
Применение методологии моделирования плоских отсеков позволило 
упростить решение задачи проектирования усовершенствованных сборных 
долбяков с призматическими и круглыми фасонными резцами (рис. 4), 
периодическое репозиционирование которых в корпусе, прямолинейное у 
призматических и поворотное у круглых, позволяет избегать неизбежной с 
изнашиванием монолитного инструмента погрешности формы обрабатываемых 
зубчатых колес для специальных неэвольвентных зубчатых передач. 
Математические описания профилирования сборных долбяков с 
призматическими и круглыми фасонными резцами идентичны первому этапу 
профилирования монолитного долбяка, на котором по заданной поверхности 
детали и заданным движениям детали и инструмента определяют 
инструментальную поверхность. 
Исходная 
информация 
на 
втором 
этапе 
профилирования, 
заключающемся в определении координат точек режущей кромки как линии 
пересечения 
инструментальной 
и 
передней 
поверхностей, 
при 
профилировании сборных долбяков обоих видов совпадает. Это координаты 
точек профиля цилиндрической инструментальной поверхности в репере 
долбяка 
2
2 2
x y z
и передний угол резца 

. 

---

__ ISCIENCE.IN.UA 
«Актуальные научные исследования в современном мире» ___ 
139
а 
б 
Рисунок 4 – Расчетные схемы профиля сборных долбежных 
инструментов с фасонними призматическими (а) и круглими (б) резцами. 
Уравнение цилиндрической инструментальной поверхности в репере 
долбяка 
2
2 2
x y z
имеет такую же операторную и матричную запись, как и для 
монолитного долбяка. Она формулируется в виде выражений. 
2
2и
и
r
r
l


; 
и
2
2
и
m
m
m
r
r
l


; (10) 
где 
2
2
2
2
x
m
y
r
z















; 
2и
2и
2и
0
x
m
y
r













;
0
0
и
и
m
l
l












. 
Операторная и матричная запись уравнений передней поверхности 
(плоскости) подобны для обоих видов сборных долбяков. Координаты точек 
фасонной режущей кромки в репере резца 
3
3
3
z
y
x
вычисляются 
следующим образом: 

---

____