«Алгебра және анализ бастамалары» пәнінен қалыптастырушы бағалауға арналған тапсырмаларлар жинағы 11-сынып

ТОҚСАН БОЙЫНША ЖИЫНТЫҚ БАҒАЛАУҒА АРНАЛҒАН ТАПСЫРМАЛАР

Бөлім: «Дифференциалдық теңдеулер туралы жалпы мағлұмат»
Оқу мақсаты	Дифференциалдық теңдеулер туралы негізгі ұғымдарды білу Дифференциалдық теңдеулердің жалпы және дербес шешімдері анықтамаларын білу
Бағалау критерийі	Білім алушы Дифференциалдық теңдеудің ретін анықтайды Берілген функция дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі болатынын көрсетеді Берілген функция дифференциалдық теңдеудің дербес шешімі болатынын көрсетеді
Ойлау дағдыларының деңгейі	Білу және түсіну Қолдану
Тапсырмалар Дифференциалдық теңдеудің ретін анықтаңыз: ^a)y  y^ y^^2 x^2 1^;^b)sinx cosy^  sin ^2 y^   ^y^^; y^^3 1 ^c^)y^^4 lny^  1^;^d)xy^ 5  y^^;^e^)^y^^2^^^x^^1^^y^^. Дескриптор: Білім алушы: дифференциалдық теңдеудің ретін анықтай алады. ^y^^x^функциясы дифференциалдық теңдеудің шешімі болатынын анықтаңыз: a) yx  x 1 e^x , y^ y  2e^x ; b) yx  ^1, y^ y^ y^^ ^1; x x^5 ^c^)^y^^x^^^e^x3 ^,^y^^^3^x^2^y^;^d)^y^^x^^^^x^^2^^^^x^^3^^,y^ xy^ 5 ^;^e)^y^^x^^^sin^x^,y^ tgx  y  0 ^;^f)^y^^x^^^2^^3^e^^2^x^^x^,y^ 2y'2  0 ^;g) yx  3e^^2^x  e^^x , y^ 2 y  e^^x ; h) yx  e^x  3x  8 , y' 3x  y  5 . Дескриптор: Білім алушы: берілген теңдеуге сәйкес y^x^функциясының туындысын табады; ^y^^x^функциясы мен оның туындыларын берілген теңдеуге қояды; ^y^^x^функциясының шешім болатынын анықтайды. ^y^^x^функциясы Коши есебінің шешімі болатынын көрсетіңіз: a) xx 1y' y  x^22x 1 , y2  6 ; ^y^^x^^^x^^x^2; x 1 b) xy' yln y  ln x, y 0,5  0,5 ; yx  xe^1^^2^x ; c) x  y  2  1  xy' 0 , y2  1 ; yx  1  x  1ln x  1. Дескриптор: Білім алушы: функцияны берілген теңдеуге қояды; функцияның туындысын берілген теңдеуге қояды; теңдеудің берілген шартты қанағаттандыратынын көрсетеді.

Бөлім: «Айнымалылары ажыратылатын бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер»
Оқу мақсаты	11.3.1.24 Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулерді шешу 11.3.3.1 Физикалық есептерді шығаруда дифференциалдық теңдеулерді қолдану
Бағалау критерийі	Білім алушы Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулерді шешеді Дифференциалдық теңдеулерді физикалық есептерді шығаруда қолданады
Ойлау дағдыларының деңгейі	Қолдану Жоғары деңгейлі дағдылар
Тапсырмалар Теңдеудің жалпы шешімін табыңыз: a) x^2 y'2xy  3y ; b) 1 x^2 dy  xy  xdx  0 ; c) y'  sin^3 x ; d) e^x 1 e^y dx  e^y 1 e^x dy  0 ; e) 1 x^2 dy  1  y^2 dx  0 . Дескриптор: Білім алушы: айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеуге келтіреді; анықталмаған интегралды есептейді; дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табады. Теңдеудің дербес шешімін табыңыз: ^a)^^1^^x^2^^dy^^2^x^^y^^3^^dx^^0 ,y  1^,x  0 ^; ^b)^dx ctgx sin y dy  0 ^,^y^^^,^x^^^; cos^2 x cos y ^3 ^c)y'tgx  1 y ^,^y^^^1^,^x^^^; 2 6 ^dy^^dx^^dx^,y 1^,x  0 ^; y x ^e)^^1^^x^2^^dy^^xy^dx^^0 ,y  4 ^,x  0 ^. Дескриптор: Білім алушы: айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеуге келтіреді; анықталмаған интегралды есептейді; дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табады; бастапқы шарттарды қолданады; дифференциалдық теңдеудің дербес шешімін табады.

3.

Суретте суға арналған цилиндрлі резервуар бейнеленген. Резервуардың дөңгелек

3
м

қимасының диаметрі 6 м. Су резервуарға 0,48 тұрақты жылдамдықпен ағады.

мин

Уақыттың t минут моментінде резервуардағы судың тереңдігі h метр болады.

Резервуардың төменгі жақ бөлігіндегі Т нүктесінде шүмек бар. Шүмек ашық болған

_м3

жағдайда су резервуардан 0,6 h


мин

жылдамдықпен ағады.

а) шүмекті ашқаннан соң, t минут өткеннен кейін көрсетіңіз;

2. 
   t  0 ^, h  0,2 ^{болғанда, дербес шешімді табыңыз;}
   

^с) h  0,5 ^{болғанда t-ның мәнін есептеңіз.}

75 ^dh  4  5h

dt

болатынын

Дескриптор: Білім алушы:

• 
  көлемнің өзгерісін анықтайды;
  
• 
  75 ^dh  4  5h болатынын көрсетеді;
  

dt

• 
  айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеуге келтіреді;
  
• 
  анықталмаған интегралды есептейді;
  
• 
  дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табады;
  
• 
  дербес шешімді анықтайды;
  
• 
  t-ның мәнін есептейді.
  

4. 
   Жартылай ыдырау мерзімі 12 жыл болатын 120 г заттан 10 жылдан кейін қанша радиоактивті зат қалады?
   

Дескриптор: Білім алушы:

• 
  радиоактивті ыдырау заңының формуласын қолданады;
  
• 
  дифференциалдық теңдеуді жазады;
  
• 
  айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеуге келтіреді;
  
• 
  анықталмаған интегралды есептейді;
  
• 
  дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табады;
  
• 
  дербес шешімді анықтайды;
  
• 
  радиоактивті затты анықтайды.
  

4. 
   100⁰ С-қа дейін қыздырылған дене температурасы 20⁰ С бөлме ішінде 20 минутта 25⁰ С- қа дейін суиды. 10 минуттан кейін дененің температурасы қандай болатынын анықтаңыз.
   

Дескриптор: Білім алушы:

• 
  туындының физикалық мағынасын қолданады;
  
• 
  дифференциалдық теңдеуді жазады;
  
• 
  айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеуге келтіреді;
  

• 
  анықталмаған интегралды есептейді;
  
• 
  дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табады;
  
• 
  дербес шешімді анықтайды;
  
• 
  дененің температурасын табады.
  

Бөлім: «Екінші ретті тұрақты коэффициентті біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулер»
Оқу мақсаты	11.3.1.25 Екінші ретті біртекті сызықты дифференциалдық теңдеулерді шешу (ay''+by'+cy=0 түріндегі ,мұндағы a,b,c -тұрақты шамалар) 11.3.3.2 Гармоникалық тербелістің теңдеуін құру және шешу
Бағалау критерийі	Білім алушы Екінші ретті біртекті сызықты дифференциалдық теңдеуді шешеді Гармоникалық тербелістің теңдеуін шешеді
Ойлау дағдыларының деңгейі	Қолдану Жоғары деңгейлі дағдылар
Тапсырмалар Дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табыңыз: ^a)y^ 6 y^10 y  0 ^;^b)y^10 y^ 25 y  0 ^;^c)y^ 4 y^ 5y  0 ^; ^d)y^ 9 y  3^;^e)y^ 7 y^12 y  6 ^;^e)y^ 2y^ y  2x ^; ^f)y^ y^ 6 y  x  2 ^. Дескриптор: Білім алушы: характеристикалық (сипаттамалық) теңдеуді шешеді; теңдеудің жалпы шешімін анықтайды. Бастапқы шарттарды қанағаттандыратындай, дербес шешімді табыңыз: ^a)y^ 3y^ 0 ^,^y^^0^^^2 ,^y^^^0^^^3 ; ^b)4y^ 4y^ y  0 ^,^y^^0^^^0 ,^y^^^0^^^2 . Дескриптор: Білім алушы: характеристикалық (сипаттамалық) теңдеуді шешеді; теңдеудің жалпы шешімін анықтайды; бастапқы шарттарды қолданады; теңдеудің дербес шешімін анықтайды. Берілген функция қанағаттандыратындай, гармоникалық тербелістің теңдеуін жазыңыз: ^a)xt   2sin^2t ^^^;^b)^x^^t^^^2^sin^3^t^^cos^3^t^.  4    Дескриптор: Білім алушы: екінші ретті туындыны табады; жиілікті (  ) анықтайды; d ^2 x 2 гармоникалық тербеліс теңдеуін (   x  0 ) жазады. dt^2 4. ^x^1^^t^, ^x^2^^t^- x^ ^2x  0 теңдеуінің шешімдері болсын. x1 t  x2 t   Asint  0  шешімі бойынша ^^^^^0^, A амплитуданы және 0 бастапқы фазаны табыңыз: a) ^x1 ^^t^^^4^sin^2^t, ^x2 ^^t^^^3cos^2^t;

^b) x t  

 _ ^  _,

x t  

 _ ^  _.

₁ ^sin^3t  ₂
3

 

^sin^3t 

 

6

Дескриптор: Білім алушы:

• 
  шартқа сәйкес,
  

x₁ t  x₂ t   Asint  ₀  түрге келтіреді;

• 
  амплитуданы табады;
  
• 
  бастапқы фазаны анықтайды.
  

5. 
   Массасы 2 кг серіппенің ұзындығы 0,5 м. Оны 0,7 м ұзындыққа созу үшін 25,6 Н күшпен әсер ету керек. Егер серіппе 0,7 м ұзындыққа созылса және 0-ге тең бастапқы жылдамдықпен жіберілсе, оның кез-келген t уақыттағы орын ауыстыруын табыңыз.
   

Дескриптор: Білім алушы:

• 
  Гук заңына байланысты серіппенің созылу коэффициентін ^{анықтайды (} k  0,2  25,6 ^);
  
• 
  берілген масса мен созылу коэффициентін қолданып, гармоникалық
  

d ² x

тербелістің m _dt2  kx  0 дифференциалдық теңдеуін құрады;

• 
  теңдеудің жалпы шешімін анықтайды;
  
• 
  бастапқы шартты қолданып тұрақтыларды табады;
  
• 
  дифференциалдық теңдеудің шешімін жазады.