Алгебраические уравнение и их методы решения

разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Из свойств числовых равенств и понятия равносильных уравнений вытекают следующие основные свойства уравнений:

1. 
   Уравнение A(x) = B(x) , (1) равносильно уравнению , (2) где C - число или некоторое выражение, имеющее смысл на множестве допустимых значений (т.е. на ОДЗ) уравнения A(x) = B(x) .
   

Доказательство:
Обозначим через T1 множество решений уравнения (1), а через T2 множе­ство решений уравнения (2). Тогда уравнения (1) и (2) будут равносильны, если T1 = T2. Но чтобы убедиться в этом, необходимо показать, что любой корень из T1 является корнем уравнения (2) и, наоборот, любой корень из T2 является корнем уравнения (1).
Пусть число a - корень уравнения (1). Тогда a € T и при подстановке в уравнение (1) обращает его в истинное числовое равенство A(a) = B(a) , а выражение C(x) обращает в числовое выражение C(a). Прибавим к обеим частям истинного равенства A(a) = B(a)  числовое выражение C(a) . Получим согласно свойствам истинных числовых равенств истин­ное числовое равенство A(a) + C(a) = B(a) + C(a) .
Но это равенство говорит о том, что число a является также и корнем уравнения (2).
Итак, доказано, что каждый корень уравнения (1) является корнем и уравнения (2), т.е. T1 ( T2.
Пусть теперь b  - корень уравнения (2). Тогда b € T2  и при подстановке в уравнение обращает его в истинное числовое равенство A(b) + C(b) = B(b) + C(b)  .
Прибавим к обеим частям этого равенства числовое выражение C(b) . Получим истинное числовое равенство A(b) = B(b), которое говорит о том, что число b - корень уравнения (1).
Итак, доказано, что каждый корень уравнения (2) является и кор­нем уравнения (1), т.е. T₂ ₁.
Так как ₁ T₂ и T₂ ₁, то по определению равных множеств ₁ = T₂, а значит, уравнения (1) и (2) равносильны, и.т.д.
Следствие. Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.
Например, A = B A – B = 0.

2. 
   Уравнение A(x) = B(x) равносильно уравнению , где C- число или некоторое выражение, имеющее смысл на множестве допустимых зна­чений уравнения A(x) = B(x) и не обращающееся на нем в нуль.
   

Доказательство этого свойства аналогично доказательству свойства 1.
Следствие. Обе части уравнения можно сокращать на общий множитель, не обращающийся в нуль на множестве допустимых значений
данного уравнения.
Действительно, уравнение A C = B C AC ( ) – BC ( ), т.е.
равносильно уравнению A(x) = B(x) .

3. 
   Уравнение = равносильно уравнению A1 ×B2 = A2 × B1 , рассматриваемому на множестве допустимых значений исходного уравнения  = или на своем множестве при дополнительном условии A2 0, 0.
   

Эти свойства используются при решении уравнений.