Алгебраические уравнение и их методы решения

Пример 3. Не решая уравнения x² - 452x + 987 = 0, определить зна­ки его корней.
Решение. Дискриминант этого уравнения положителен, так как = 226² - 987 > 0. Следовательно, уравнение имеет действительные корни x  и x . По теоре­ме Виета x x  = 987 > 0; корни имеют одинаковые знаки. Так как по тео­реме Виста x x  = 452 > 0, то корни x  и x  - положительные.
Пример 4. Составить приведенное квадратное уравнение, корни которого x x =3.
Решение. По обратной теореме Виета p= -( x  + x )= -5, q = x x = 6. Искомое уравнение x² - 5x + 6 = 0.
§4. Разложение квадратного трехчлена на множители.
Рассмотрим квадратный трехчлен ax² + bx + c (a 0). 
Квадратный трехчлен - это многочлен второй степени. Значения x, при которых квадратный трехчлен обращается в нуль, называются корнями квадратного трехчлена. Для нахождения корней квадратного трехчлена нужно решить квадратное уравнение ax² + bx + c = 0.
Мы уже знаем, что число действительных корней квадратного уравнения, а значит, и квадратного трехчлена зависит от знака дискриминанта D = b² - 4ac. Пусть дан квадратный трехчлен ax² + bx + c (a 0) с неотрицательным дискриминантом D = b² - 4ac 0.
Теорема. Если x и x  - корни квадратного трехчлена ax² + bx + c, то ax² + bx + c = a(x - x (x + x ) (a 0). (1)
Доказательство. Так как x и x  - корни квадратного урав­нения ax² + bx + c = 0 с дискриминантом D 0, то по теореме Виета
x + x  = - , x x = .
Поэтому
ax² + bx + c = a(x² + x + ) = a(x²-(x + x ) x + x x ) = a((x² - x x) – (x x - x x )) = a(x(x - x ) - x (x - x )) = a(x - x )(x - x ).
Полученное равенство (1) называется формулой разложения квадратного трехчлена на линейные множители.
Пример 1. Упростить выражение .
Решение. Для квадратного трехчлена дискриминант D = 25 – 16 > 0. Найдем корни трехчлена, решив квадратное уравнение = 0. Получим x = 2 и x = . Поэтому по формуле (1) = 2(x – 2) (x - ) = (x-2)(2x-1). Следовательно,
Пример 2. Доказать, что выражение
( + ) -
при всех допустимых значениях y есть величина постоянная.
Решение. 1) Разложим знаменатель второй дроби на линейные множители. Решив уравнение 15 – 7y- =0 +7y-15=0, найдем y , = y =-3 y =  . Получаем разложение квадратного
15-7y- = -4(y + 3) (y - ) = -(y+3)(4y-5)
трехчлена:
2)
+ = - = =
= ;
3) = = ;
4) - = = = 7 - величина, постоянная при всех допустимых значениях y (т.е. при любых значениях y, для которых y , y , y ).