Алгебраические уравнение и их методы решения

Пример 1. Решить уравнения:
а) ; б) x³ +8=0
Решение. Оба уравнения можно решить разложением левой части на множители. Проще поступить по-другому:

1. 
   x³ -8=0 x³ =8 x= =2;
   
2. 
   x³ +8=0 x³ =-8 x= =-2.
   

Пример 2. Решить уравнение x³+2x-3=0.
Решение. Используем разложение на множители:
x³+2x-3= x³+2x-2-1=( x³-1)+2(x-1) или x³+2x-3=(x-1)( x²+x+3).
Поэтому (x-1)( x²+x+3)=0, откуда x-1=0 и x²+x+3=0. Полу­чим ; дискриминант квадратного уравнения D=1-12<0; следо­вательно, квадратное уравнение действительных корней не имеет.
Значит, - единственный действительный корень данного уравнения.
Пример 3. Решить уравнение (x²-5x)²-30(x²-5x)-216=0.
Решение. Заметим важную особенность уравнения: его левая часть содержит неизвестное x в виде выражения x²-5x. Поэтому для решения этого уравнения используем метод введения нового неизвестного. Пусть x²-5x=y, где y - новое неизвестное. Тогда данное уравнение приводится к квадратному уравнению относительно y y²-30y-216=0.
Решая его, получаем y₁ = -6, y₂ = 36.
Теперь найдем x. Решая уравнение x²-5x=-6 или x²-5x+6=0,
получаем x₁=2, x₂=3.
Решая уравнение x²-5x=36 или x²-5x-36=0,
получаем x₃ = -4, x₄=9.
Итак, x₁=2, x₂=3, x₃ = -4, x₄=9 - все корни данного уравнения.
Отметим, что без введения нового неизвестного решить данное уравнение четвертой степени было бы затруднительно.
Пример 4. Решить биквадратное уравнение ax⁴+bx²+c=0 (a 0).
Решение. Биквадратное уравнение - важный частный случай урав­нения четвертой степени. Заменой x²=y биквадратное уравнение приво­дится к квадратному уравнению ay²+by+c=0, которое имеет действи­тельные корни только в случае, когда его дискриминант D=b²-4ac неотрицательный. Тогда возможны следующие случаи, (в зависимости от корней y₁, y₂ вспомогательного квадратного уравнения):
1) y₁ 0, y₂ 0; биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня: x = , x₃,₄ = .
2) y 0, y < 0; биквадратное уравнение имеет два действительных
корня: x = .
Очевидно, аналогично и при y <0, y 0.
3) y <0, y < 0; биквадратное уравнение не имеет действительных корней.
Например, решим биквадратное уравнение x⁴-8x²-9=0. Полагаем x²=y. Тогда y²-8y-9=0; дискриминант D>0; корни y = 9, y =-1. Решая уравнение x²=9, получаем x = 3. Уравнение x²=-1 действительных корней не имеет.
Пример 5. Решить уравнение .
Решение. Запишем уравнение в виде = и возведем обе части его в квадрат:
3x+1=x-1+4 или 2 =x-1, откуда 4(x-1)=(x-1)², т.е. (x-1)(x-1-4)=0. Следовательно, x =1, x =5. Проверка показывает, что числа, x=5 удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ: x=5.