Алгебраические уравнение и их методы решения

§2. Линейные уравнения.
Определение. Уравнением первой степени с одним неизвестным называется уравнение вида ax + b = 0 , где a, b - заданные числа, причем а x - неизвестное.
При этом число a называется коэффициентом при неизвестном  ,
чис­ло b - свободным членом уравнения.
Это уравнение равносильно уравнению ax = -b, из которого получаем, x = - что. Таким образом, уравнение первой степени всегда имеет единственный корень x = - .
Уравнение первой степени является частным случаем линейного уравнения ax + b = cx + d, где a, b, c, d - заданные числа, а x - неизвестное.
Линейное уравнение сводится к равносильному ему уравнению вида k×x = l , где k и l - известные числа. При этом число k - коэффициент при неизвестном x , может оказаться равным нулю, в отличие от коэффи­циента при неизвестном в уравнении первой степени.
Может оказаться, что линейное уравнение не имеет корней или имеет бесконечное множество корней.
Пример 1. Показать, что уравнение 2(x – 1) +1 = 3 – (1 - 2x) не имеет корней.
Решение. Данное уравнение равносильно уравнению 2x - 2x = 2 + 1
Или 0 × x = 3 .
Это уравнение не имеет корней, так как левая часть 0 × x равна нулю при любом x , а значит, не равна 3.
Пример 2. Решить уравнение ax = a.
Решение. Это уравнение содержит параметр a (переменную, которая в условии данной задачи сохраняет одно и то же значение).
Если , то ax = a  x = a/a , т.е. - единственный корень уравнения. Если a = 0 , то уравнение принимает вид 0 × x = 0 и его корнем являет­ся любое действительное число x.
Пример 3. Решить уравнение + = .
Решение.
1) После приведения дробей к общему знаменателю (a – 1)(x + 3)   получим линейное уравнение 3ax – 5 + (3a - 11 )(x + 3) = (a – 1)(2x + 7), равносильное исходному, при условии, что  , т.е.  ,  .
2) После приведения подобных членов и сведения полученного уравнения к стандартному для линейного уравнения виду kx = b  имеем (4a – 9)x = 31 - 2a, ()
3) а) Если 4 – 9 0 2 , то x= . Теперь необходимо исключить те значения параметра a, при которых найденное значение x равно , чего не может быть по области определения (ОДЗ) исходного уравнения. Приравняем дробь  к :
, 31-2a=-12a+27, 10a= -4 a = - .
Таким образом, при a = - 0,4 полученное в результате преобразования линейное уравнение имеет корень x = -3, посторонний для исходного уравнения.
б) Если a = 2, 25, то уравнение () примет вид 0 × x = 31 – 2,25 или 0 = 26,5 - неверное равенство, т.е. уравнение () не имеет корней.
Вообще, если уравнение не имеет корней, то говорят также, что множество корней уравнения пустое, и обозначают Ø.
Ответ. 1) При ,  2 и - уравнение имеет единственное решение x = ;
2) при данное уравнение не имеет смысла;
3) при = 2 и = - нет решений.
Ответ можно записать короче:
1) если  - , 1, 2 , то x= ; 2) если = - , 1, 2 , то Ø.