Algebraik sistemalar. Yarim gruppa, gruppa, halqa va maydon tushunchalari va ularga misollar

28-Variant
1 – topshiriq. Berilgan savollarga javob tayyorlang.

1. 
   Algebraik sistemalar. Yarim gruppa, gruppa, halqa va maydon tushunchalari va ularga misollar.
   
2. 
   Natural sonlar qatori kesmasi va chekli toʻplam elementlari soni tushunchasi.
   

1. 
   Algebraik sistemalar. Yarim gruppa, gruppa, halqa va maydon tushunchalari va ularga misollar.
   

1. Algebraik amal berilgan va bo`sh bo`lmagan to’plam algebra deyiladi. Agar natural sonlar to’plami da qo`shish amali berilgan bo`lsa, bu to’plamda berilgan algebra ko`rinishda belgilanadi. ko`rinishda berilgan algebra natural sonlar to’plamida ayirish amali bilan berilgan, butun sonlar to’plamida bo`lish amali vositasida berilgan algebralar bo`ladi. Demak, algebra berilishi uchun bo`sh bo`lmagan to’plam va unda algebraik amal berilishi lozim ekan.

Agar to’plam berilib, unda algebraik amallar berilgan bo`lsa, ular vositasida berilgan algebra ko`rinishda bo`ladi. algebra algebradan va algebraik amallari bilan farq qiladi.

to’plam va unda berilgan * algebraik amal vositasida algebra beriladi. Gruppa, halqa, maydon ana shunday algebralar qatoriga kiradi. Quyida gruppa, halqa va maydon kabi algebralarning xossa va xususiyatlarini ko`rib chiqamiz.

2. Aytaylik bizga, to’plam va binar * algebraik amal berilgan bo`lsin.

1-ta’rif. Bo`sh bo`lmagan to’plamda * algebraik amal assotsiativ bo`lsa, algebra yarimg ruppa deyiladi.

2-ta’rif. Bo`sh bo`lmagan to’plamda quyidagi xossalar o`rinli bo`lsa, algebra gruppa deyiladi:

a) to’plamning ixtiyoriy elementlari uchun munosabat o`rinli bo`lsa, ya’ni binar * algebraik amal assotsiativ bo`lsa;

b) to’plamning ixtiyoriy elementi uchun shunday element mavjud bo`lib, u shartni qanoatlantirsa, ya’ni to’plamda neytral element mavjud bo`lsa;

d) to’plamning ixtiyoriy elementi uchun shunday element mavjud bo`lib, u quyidagi shartni qanoatlantirsa, ya’ni to’plamning har bir elementiga simmetrik element mavjud bo`lsa.

Ta’rifdan ko`rinadiki, algebra gruppa bo`lishi uchun * algebraik amal bo`lib, u assotsiativ bo`lishi hamda to’plamda e neytral, simmetrik elementlar mavjud bo`lishi kerak ekan.

3-ta’rif. Agar to’plamda berilgan * algebraik amal kommutativ bo`lsa, ya’ni ixtiyoriy uchun o`rinli bo`lsa, gruppa * binar algebraik amalga nisbatan kommutativ gruppa deyiladi. Kommutativ gruppa ba’zi hollarda Abel gruppa deb ham ataladi.

Binar «*» algebraik amalni «+» qo`shish amali bilan almashtiraylik. to’plamda + amali gruppa hosil qilishi uchun u quyidagi xossalarga bo`ysinishi kerak:

a) uchun bajarilishi, ya’ni qo`shish amali assotsiativ bo`lishi;

b) uchun shunday element bo`lsinki, bo`lsin, ya’ni neytral element mavjud bo`lishi;

d) to’plamning ixtiyoriy elementi uchun shartni qanoatlantiruvchi simmetrik () element mavjud bo`lishi kerak.

Ma’lumki, qo`shish amali kommutativdir, shuning uchun algebra kommutativ, ya’ni Abel gruppasidir.

Misol. Haqiqiy sonlar to’plami qo`shish amaliga nisbatan kommutativ gruppa tashkil qiladi.

Haqiqatan ham, uchun

a) assotsiativlik xossasi o`rinli;

b) uchun mavjudki, ;

d) uchun topiladiki, .

Qo`shish amali haqiqiy sonlar to’plamida kommutativ, assotsiativ bo`lganidan va da neytral va simmetrik element mavjudligidan kommutativ gruppa bo`lishi kelib chiqadi.

Agar «*» algebraik amal sifatida «+» qo`shish amali olinib, algebra qo`shish amaliga nisbatan gruppa bo`lsa, bunday gruppalar additiv gruppalar deyiladi.

Agar «*» algebraik amal sifatida «·» qo`shish amali olinib, algebra ko`paytirish amaliga nisbatan gruppa bo`lsa, bunday gruppalar multi’likativ gruppalar deyiladi.

2.