Algebraik strukturalar nazariy matematikaning tarkibiy qismi o‘laroq shakllangan

Birinchi bosqich.

Bu bosqichda bir necha oddiy masalalar ko‘rib chiqiladi:

Masala №1: Qutida 5 ta olma bor. Eshmat qutiga yana 3 ta solib qo‘ydi. Qutida jami nechta olma bo‘ldi? Javob: 5+3=8 ta olma.

Masala №2: Karmonda 5 so‘m bor. Eshmat 2 so‘mga xo‘rozqand sotib oldi. Karmonda necha pul qoldi? Javob: 5−2=3 so‘m.

Bu masalalar sizni kulgingizni qistatgan bo‘lsa kerak. Axir eng elementar arifmetika sohasiga oid bo‘lgan ushbu masalalarni boshlang‘ich sinf o‘quvchilari, yoki, bog‘cha bolalari ham oson yecha oladi. Fikringiz to‘g‘ri. Lekin, keling, shoshqaloqlik qilmaymiz va ushbu masalalarni algebraik strukturalarni tushunish yo‘lidagi ilk qadam deb qabul qilamiz.

Albatta, ushbu masalalarni yechish uchun matematika fani mutaxassisi, yoki, eksperti bo‘lishi shart emas. Ba’zilar ushbu masalalarni, aslida «masala» deb aytishga ham istihola qilishadi. Matematik mutaxassislar bunday masalalarni boshlang‘ich sinf darsliklarida «mashqlar» deb ham berishadi. Shunga qaramay, aytaylik, 4-yoshli bola uchun bu masalalar biroz qiyinlik qilishini hammamiz yaxshi bilamiz. Birinchidan, bu yoshdagi bola, birgina 5 sonining o‘zi ayni vaqtda ham oiladagi odamlar sonini ifodalash uchun, ham karmondagi pul miqdorini, ham qutidagi o‘yinchoqlar va vazadagi olmalar soni ham ifodalash uchun qo‘llanishini endigina bilib olgan payti bo‘ladi. Ya'ni, uning aqliy rivojlanish darajasining joriy bosqichi uchun, yuqorida aytilgan masala biroz qiyinlik qiladi. Ayni shu bosqichni matematikada mavhumiyatning birinchi bosqichi sifatida qaraladi.

Aslida son tushunchasi o‘zi ham mavhum tushunchadir. Son tushunchasi va u bilan chambarchas bog‘liq bo‘lgan hisoblash tushunchasini anglab yetib olish ham, xuddi o‘qish va yozishni o‘rganish singari, katta aqliy salohiyat talab qiladigan jarayondir. O‘qish, yozish va sanash tushunchalari, madaniylashgan jamiyatlarda yashovchi barcha odamlar hayoti davomida keng qo‘llaydigan va shuning uchun bolaligidanoq bilishi va anglashi lozim bo‘lgan eng muhim mavhumiyatlar olamidir. Bular ichida, №1 va №2  masalalar vositasida ifoda qilingan sanoq mavhumiyati matematikada abstraksiyaning birinchi bosqichi deb qaraladi.

Demak, birinchi bosqich matematik mavhumiyatdan odamlar bolalikdanoq foydalana boshlar ekanlar.

Ushbu ikki masalada qo‘llangan matematik amallar nafaqat olmalar sonini, yoki, pulni sanash singari aniq, moddiy narsalar bilan bog‘liq hisoblashlar uchun tadbiq qilinadi, balki, mavhum ko‘rinishdagi sonlar uchun ham qo‘llanadi. Shu tarzda, 8+3=11, 20−5=15 singari amallarni sonlar va qo‘shish-ayrish amallari bilan tanish bo‘lgan istalgan odam bajara oladi. Biroq, 5−25=? kabi misolning mohiyatini anglash hali bu bosqichda oson bo‘lmaydi.

Agar, qutida 5 ta olma turgan bo‘lsa va undan 25 ta olma olishni so‘rasak, bu gapni eshitgan yosh bolakay ham, buning iloji yo‘qligini aytib e’tiroz bildiradi. Bunday e’tiroz tamomila o‘rinli va haqdir. Lekin, agar bu o‘rinda gap pul muomalasi, aytaylik, bank hisob-raqami haqida ketayotgan bo‘lsa-chi? Endilikda manfiy sonlar maydonga chiqadi. Aytaylik, sizda 5 so‘m pulingiz bor. Bozorda siga zarur bo‘lgan buyum 25 so‘m turibdi. Sizda uni xarid qilish uchun yana 5−25=−20 so‘m yetishmayapti.

Manfiy sonlar XVI asr oxirida Yevropada paydo bo‘lgan. Biroq, manfiy son tushunchasi jamiyatda o‘rnashib, keng qo‘llanila boshlashi uchun oradan yana deyarli ikki asr vaqt o‘tdi. XIX asrda bank-moliya xizmatlari va xalqaro savdoning keskin ortishi bu narsaga turtki bergan deb qaraladi. Biroq, fan-texnika mislsiz rivojlangan bugungi XXI asrda ham, manfiy son tushunchasini yaxshi bilmaydigan odamlar topilib turadi. Buni ularga tushuntirishning oson yo‘li, manfiy sonlarni pul muomalasidagi qarz tushunchasi bilan bog‘lab tushuntirishga urinib ko‘rishdir. Masalan, cho‘ntagida 5 so‘m puli bor bolakay, bozorda 25 so‘mga xo‘rozqand xarid qilmoqchi bo‘lsa, unga yana 20 som kerak bo‘ladi. U mazkur 20 so‘mni do‘stidan qarz oladi. Buni, bolakayni 20 so‘m qarzi bor, yoki, manfiy son bilan ifodalab, −20 so‘m puli bor deyish mumkin. mazkur gapda «qarz» tushunchasi matematik «−» (ayrish) amali bilan bir ma’noga ega bo‘lmoqda.

Ertasi kuni bolakayga dadasi muzqaymoq uchun 15 so‘m pul beradi. Lekin, ushbu 15 so‘m ichidan u do‘stiga kechagi 20 so‘m qarzni qaytarishi kerak. U 15 so‘mni do‘stiga berib yuborsa, −20 so‘m pulidan (qarzidan) −20+15=−5 so‘m qoladi.

Sonlarning musbat va manfiy turlari mavjudligini, shuningdek, neytral son – nol (0) borligini bilgan holda, yuqorida bajarilgan amallarni biz quyidagi matematik ifoda vositasida ko‘rsatishimiz mumkin:

5+(−25)=−20

−20+15=−5

Bu amallar orqali va nol sonini ishtirok ettirib, bir necha qiziqarli vaziyatlarni ko‘rib chiqamiz:

3+2=2+3;

2354+578494=578494+2354;

58+0=0+58;

0+15=15+0;

25+(−25)=0;

2500+(−2500)=0.

Yana bir, biroz murakkab, lekin juda qiziq misol:

2+(4+5)=(2+4)+5

Bu misolning qiziqligi shundaki, u ikkitadan ko‘p sonlarni qo‘shish imkonini bermoqda va unda avvaliga 2+4=6 yig‘indini topib, so‘ngra unga 5 ni qo‘shib qo‘yish mumkinligini, yoxud, avvaliga 4+5=9 ni topib, keyin unga 2 ni qo‘shsa ham bo‘laverishini ta’kidlamoqda. Har ikki holatda ham natija bir xil, ya'ni, 11 chiqadi. Agar bu to‘g‘ri bajarilayotgan bo‘lsa, demak, qavslarning joylashuvi hech qanday ahamiyatga ega emasligini bilib olamiz. Chunki, istalgan holda ham, natija baribir bir xil chiqadi.

Keling, sonlarni qo‘shish amali bilan bog‘liq xulosalarni umumlashtiramiz.

· Ikkitadan ortiq qo‘shiluvchilar ishtirok etadigan yig‘indilarni hisoblashda, qo‘shiluvchilarni istalgan usul bilan guruhlash mumkin. Chunki natija doimo bir xil chiqadi.

· «Nol» (1) deb ataluvchi butun son mavjud va unga istalgan son qo‘shilganda, yig‘indi shu sonning o‘ziga teng bo‘ladi (masalan, 16+0=16 va ho kazo).

· Istalgan burun son uchun unga qarama qarshi bo‘lgan son mavjud bo‘lib, ularni o‘zaro qo‘shgandagi yig‘indisi doimo nolga teng bo‘ladi. Masalan, 16+(−16)=0; yoki, −23+23=0

Agar biz, yuqorida bayon qilingan tajribaga juda o‘xshash bo‘lgan yana bir tajriba o‘tkazib ko‘rsak, xulosada ko‘rib chiqilgan uch xil xossaga juda o‘xshash xossalarga shuningdek ratsional sonlar ham ega ekanini bilib olamiz. Buning uchun biz, qo‘shish amalini emas, balki, ratsional sonlarni o‘zaro ko‘paytirishni ko‘rib chiqamiz. Boshqacha aytganda, endi kasr sonlarni ham e’tiborga ola boshlaymiz.

· Uchta sonni o‘zaro ko‘paytirishda ularni istalgan yo‘l bilan guruhlash mumkin: (2∙3)∙5=2∙(3∙5); chunki, 6∙5=2∙15=30.

· Bir (1) deb ataluvchi ratsional son mavjud va unga istalgan ratsional son ko‘paytirilsa, natija shu sonning o‘ziga teng bo‘lib qolaveradi: 1∙16=16; yoki, 28∙1=28.

Istalgan ratsional son uchun, doimo unga teskari bo‘lgan boshqa ratsional son mavjud bo‘lib, ularning o‘zaro ko‘paytmasi doimo 1 ga teng bo‘ladi. Masalan:

Shu tarzda biz, shunga o‘xshash tajribalarni boshqa matematik amallar uchun ham takrorlab ko‘rishimiz mumkin. Bunda tajribani hatto albatta sonlar ishtirokini taqozo qilmaydigan amallar, masalan, tekisliklarni o‘zgartirish kompozitsiyalari, vektorlarni, yoki, matritsalarni ko‘paytirish uchun ham tekshirib ko‘rish mumkin. Bunda, mazkur operatsiyalar (amallar) ham yuqorida aytilgan xossalarga ega bo‘lishini bilib olamiz. Ushbu xossalarni matematiklar umumiy qilib, «assotsiativlik xossalari» deb yuritishadi. O‘zbek tilida bu tushunchani «uyg‘unlik xossasi», yoki, «bog‘liqlik xossasi» ham deyish mumkin.