Algebraik strukturalar nazariy matematikaning tarkibiy qismi o‘laroq shakllangan

Ikkinchi bosqich.

Yuqorida ko‘rib chiqilgan amallarda sonlar o‘rniga belgilar (harflar) qo‘llash orqali biz matematik abstraksiyaning ikkinchi bosqichiga o‘tamiz. Avvalgi bosqichda ko‘rib chiqilgan assostsiativlikni algebrada quyidagi ifodalash mumkin: (a+b)+c=a+(b+c); yoki, (a∙b)∙c= a∙(b∙c). Bunda, a, b, c - qo‘shish amali uchun olganda butun sonlar; ko‘paytirish amali uchun olganda esa, ratsional sonlar bo‘lishi mumkin.

Bu bosqichda umumiylik yanada ortadi. Chunki, endi biz sonlar o‘rniga harflardan foydalanish orqali, ushbu harflar o‘rniga istalgan sonlarni qo‘yib amallarni bajarilsa, ifodada ko‘zda tutilgan assotsiativlik baribir bajarilishini ma’lum qilmoqdamiz. Bunda endi, harflar o‘rniga qo‘yiladigan sonlarning butun sonlarmi, yoki, ratsional sonlar bo‘lishining farqi qolmaydi. Xossa baribir bajarilaveradi. Aynan shu joyda biz matematik abstraksiyaning ikkinchi bosqichiga chiqamiz. Bu bosqich taxminan 13-14 yoshlardagi maktab o‘quvchilariga algebra fani orqali singdiriladi. Ba’zi mamlakatlarda ushbu jarayonda algebra o‘qitishni «abstrakt algebra» fani deb ham yuritiladi. Biroq, nimagadir fan nomiga «abstrakt» so‘zini qo‘shib aytilishi, matematik mutaxassislardan boshqa deyarli barchani qo‘rqitadi. Shu o‘rinda, muhim bir faktni ham yodga olib o‘tish orqali, aslida mavhum algebra, ya'ni, abstrakt algebra ko‘pchilik o‘ylagandek qo‘rqinchli va mujmal narsa emasligini tushunishga yordam berishi mumkin. Ya'ni, aslida biz kundalik turmushda har kuni ishlatadigan va ongimizga singib ketgan ko‘plab tushunchalarning o‘zi ham mavhum tushunchalardir. Chunonchi biz «daraxt» deganimizda, biologiya faniga ma’lum barcha daraxt turlariga mansub obyektlarni nazarda tutamiz. Biroq, masalani aniqlashtirish kerak bo‘lsa, tafsilotlarga o‘ta boshlaymiz va muayyan daraxtlar oilasini, yoki, aniq bir daraxt nomini aytishimiz mumkin bo‘ladi. Xususan, qurilishda uyga pol qoqish uchun ignabargli daraxt yog‘ochi yaxshiroq deymiz. Ignabargli daraxtlar oilasiga mansub daraxt turlari ham talaygina. Ular ichida eng yaxshisi, eng pishig‘i – listvennitsa daraxti yog‘ochi desak, eng aniq gap aytgan bo‘lamiz.

Xuddi shunday, nutqimizda masalan, «oq», «qo‘rqinchli», yoki, «chiroyli» kabi sifatlarni qo‘llayotganimizda, ulardan muayyan grammatik kategoriyani abstraksiyalash uchun foydalanamiz va buning uchun muayyan qoidalarni shakllantiramiz. Masalan, «qo‘rqinchli» sifatining o‘zi bilan ham odamni, ham film janrini, ham tungi xilvat ko‘chani aytishimiz mumkin. Bunday abstraksiyalashni biz, matematik abstraksiyaning uchinchi bosqichiga qiyoslashimiz mumkin.