Algebraik strukturalar nazariy matematikaning tarkibiy qismi o‘laroq shakllangan

Algebraik strukturalar.

Guruh – algebraik strukturadir. Matematikada ko‘plab algebraik strukturalar ma’lum. Xususan, guruhlar, ideallar, halqalar, maydon, modullar, vektor fazosi va boshqalarni misol qilib keltirish mumkin. Guruhlardan farqli o‘laroq, ushbu algebraik strukturalarning aksariyatida bittadan ko‘p matematik amallar aniqlangan. Misol uchun halqani ko‘rib chiqamiz. Halqa bu shunday A to‘plamki, unda ikkita ichki operatsiya (ularni shartli ravishda $ va ^ bilan belgilaymiz)[1] aniqlangan va bunda quyidagi shartlar bajarilmoqda:

1) Birinchi operatsiya $ ga nisbatan halqa kommutativ guruh xossasiga ega;

2) Ikkinchi operatsiya assotsiativlik xossasiga ega. Boshqacha aytganda, A to‘plamning istalgan a, b va c elementlari uchun (a^b)^c=a^(b^c) tenglik bajariladi.

3) Ikkinchi operatsiya, ya'ni ^ birinchi operatsiya $ ga nisbatan distirbutiv bo‘ladi. Ya'ni, bunda a^(b$c)=(a^b)$(a^c) shart bajariladi.

Butun sonlar to‘plami va qo‘shish va ko‘paytirish amallari birgalikda halqa tashkil qiladi va uni matematikada (ℤ,+, ∙) tarzida belgilanadi. Biz yuqorida, butun sonlar to‘plami va qo‘shish amali birgalikda kommutativ guruh tashkil qilishini aytib o‘tgandik. Shuningdek, biz bilamizki, butun sonlarni ko‘paytirish amali assotsiativlik xossasiga ega. Ya’ni, misol uchun 3∙(4∙8)=(3∙4)∙8, ya'ni, 3∙32=12∙8. Vanihoyat, bu holatda distirbutivlik xossasi quyidagicha namoyon bo‘ladi: 2∙(4+6)=2∙4+2∙6.

Bizga ma’lumki, barcha butun sonlar ushbu xossaga egadirlar.

Quyida ayrim algebraik strukturalar haqida soddaroq ma’lumot beruvchi jadvalni keltirib o‘tamiz. Shuni ta’kidlash joizki, jadvalda faqat sodda algebraik strukturalar keltirib o‘tildi. Bulardan tashqari matematikada yanada murakkabroq bo‘lgan algebraik strukturalar, xususan, ideallar, modullar kabilar mavjud bo‘lib, ular ham nazariy ham amaliy matematikada qo‘llaniladi.

 

 

Algebraik struktura	Ta'rifi
Guruh	To‘plam va tarkibida neytral element va to‘plam elementlarning har biri uchun teskari elementga ega bo‘ladigan assotsiativ operatsiya.
Halqa	Har biri uchun ikki xil operatsiya aniqlangan elementlar to‘plami. Operatsiyalardan biri qo‘shish amaliga, ikkinchisi ko‘paytirish amaliga o‘xshash bo‘ladi.
Maydon	Maydon bu shunday to‘plamki, unda ikkita, ya'ni, + va · operatsiyalari aniqlangan bo‘lib, bunda to‘plam va + amali kommutativ guruh hosil qiladi; to‘plam va + amali esa, shunchaki guruh hosil qiladi. Shu bilan birga, operatsiyalar o‘zaro distirbutivlik xossasiga ega bo‘ladi.