Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti differentsial tenglamalar kafedrasi

 

 

O’quv mashqlar 

–misol va masalalarni eching 

–teoremani isbotlang  

–shu mavzuni nazariyasini o’qib oling 

 

Uyga vazifa 

 

 

 

Tavsiya etiladigan adabiyotlar 

Asosiy 

1. 

Saloxiddinov  M.S.  Matematik  fizika  tenglamolari.  T.,  «O’zbekistan»,  2002, 

448 b. 

2. 

Mixlin S.G. Kurs matematicheskoy fiziki. M, 1968, 

3. 

Sobole» SL. Uravneniya matematicheskoy fiziki. M. 1966. 

204 

 

4. 

Bisadzs L.V. Uravneniya matematicheskoy fiziki. M. 1976. 

5. 

Bisadze   A.V.,   Kalinichenko   D.F.   Sbornik   zadach   po    uravneniyam 

matematicheskoy fiziki. M. 1977. 

 

Qo’shimcha 

1. 

Tixonov    A.P.,    Samarskiy    A.A.    Uravneniya  matematicheskoy  fiziki.  M. 

1968. 

2. 

Koshlyakov  B.C.,  Glipsr  E.B.,  Smirnov  M.M.  Osnovnыye  differensialnыye 

uravneniya matematicheskoy fiziki. M. 1962. 

3. 

Vladimirov B.C. Uravneniya matematicheskoy fiziki. M. 1981. 

4. 

Polojii G.11. Uravneniya matematicheskoy fiziki. M. 1964. 

5. 

Petrovskiy I.G. Leksii ob uravneniyax s chastnыmi proizvodnыmi. M., 1961. 

6. 

Mixlnn S.G. Leksii po lineynыm integralnыm uravneniyam. M. 1959. 

7. 

Smirnov M.M. Sbornik zadach po uravneniyam matematicheskoy fiziki. 

8. 

Budak      B.M.,     Samarskiy      A.A.,     Tixonov      A.N.     Sbornik      zadach     po 

matematicheskoy fizike. M. 1972. 

9. 

Vladimirov  13.S,  Mixaylov  V.P.  i  dr.  Sbornik  zadach  po  uravneniyam 

matematicheskoy fiziki. M. 1974. 

 

 

Mavzu bo’yicha yangi tushunchalar uchun savollar. 

 

       

1. 

Xususiy  xosilali    differensial  tenglama    qachon  elliptik  tipdagi  tenglama 

deyiladi? 

2. 

2–chi  tartibli  o’zgarmas  koeffisiyentli  elliptik  tipdagi  tenglamani  kanonik 

shakliga keltirish yo’lini  ayting. 

 

Mavzu 5. Dalamber formulasi 

Amaliy mashg’ulotlar rejasi 

Fan: “ Matematik fizika tenglamalari“. 

O’quv soati: 2 s. (amaliy) 

O’quv  mashg’ulotlar  turi:  kartochka,  topshiriq,  o’quv  materiallar  va    metodik  

qullanma  vositasi bilan amaliy mashg’ulotlar. 

O’quv mashg’ulotlar rejasi:  

- 

tarqatma materiallar tayyorlash. 

- 

o’quv masalalari. 

- 

Misol va masalalar echish 

205 

 

- 

Yakuniy tahlil 

O’quv mashg’ulotlar maqsadi: 

 

Misol  va  masalalar  echish  vositasi  bilan  Nazariy  bilimlarni  amaliy 

mashg’ulotlar bilan chuqurlashtirish 

O’quv mashg’ulotlar vazifasi: 

- 

o’qituvchi: 

mavzu 

bo’yicha 

olgan 

bilimlarni 

sistemalashtirish 

va 

mustahkamlash 

- 

rivojlantiruvchi:  o’rganish  tajribasini  oshirish,Matematik  fizika  tenglamalari 

nazariyasini  o’rganish,  analiz  va  o’rganish  natijalarini  umumlashtirish  mahoratini 

rivojlantirish; student ijodiy mahoratini shakllantirish; 

- 

tarbiyaviy:  mustaqil  izlanish  mahoratini  uyg’otish  ;  jamoa  bilan  ish  yuritish 

qoidalariga  bo’ysunish.  Fanga  qiziqishni  rivojlantirish,  ma’suliyatni  his  qilish  , 

mehnatsevarlik, individual ishni kollektiv bilan moslashni o’rgatish. 

O’qitish texnologiyasi: 

- 

o’qitish metodlari:  individual savol-javob; birga o’qitish;o’quv qo’llanmalarga 

asoslanib  teoremalarni isbotlash, misollar echish mahoratini o’rgatish 

- 

o’qitish shakllari:  individual, kollektiv. 

- 

o’qitish  vositalari:  daftarda  va  dockada  misol  va  masalalar  echish,  metodik 

ishlanmalar va amaliy ko’rsatmalar 

- 

 o’qtish shartlari: auditoriya 

- 

monitoring  va  baholash:  og’zaki  nazorat,  individual  savol-javob  ,  material 

tushuntirilishi, nazorat ishi. 

Pedagogik masalalar : 

- 

mavzu  bo’yicha    bilimlarni  mustahkamlash  uchun  o’rganuvchilarni  anglash 

faoliyatini tashkillashtirish 

- 

namuna bo’yicha amaliyotda bilimlarni mustahkamlash; 

- 

mustaqil oliy  matematika  o’rganishni shakllantirish;  

O’quv faoliyati natijalari: 

- 

kurs mavzulari bo’yicha bilimlarni sistemalashtirish va mustahkamlashtirish; 

- 

o’rgangan tushunchalar bilan amaliy mashgulotlarda ishlay olish; 

- 

misol  va  masalalarni  echishda,  hamda  teoremalar  isbotlashda  matematik 

terminalogiyalarni va tushunchalarni qo’llashni  mustaqil o’rganish mahorati; 

- 

mustaqil misol va masalalarni echa olish mahoratini oshirish; 

- 

tajriba natijalarini analiz qila olish; 

 

1.2 Amaliy mashg’ulotning xronologik xaritasi. 

1 bosqich. O’quv mashg’ulotlarga kirish (10 daqiqa); 

 

- 

o’qituvchi  faoliyati:  tayyorgarlikni  tekshirish  (konspektning  mavjudligi; 

tayyorgarlik,  qatiyatlik  va  aniqlik,  davomat);  zarur  materillarni  tarqatish  (metodik 

qo’llanmalar,kartochkalar);  amaliy  darsning  maqsadi  va  mavzuni  aytish  ;  o’quv 

darsining rejasi bilan tanishtirish, tushuncha va jumlalar; adabiyotlar ruyxati; Reyting-

kontrol  sistemasi  bilan  tanishtirish;  joriy  nazorat  baholash  mezonlari;o’quv  ishlari 

yakunlarining rejalarini taqdimlash; 

- 

talaba  faoliyati:  o’quv  joyini  tayyorlash  (o’quvchilarning  borligi;  tashqi 

ko’rinish; uquv va tarqatma materiallar); mavzu bilan tanishuv va o’quv dars maqsadi; 

o’quv materialni qabul qilishga tayorgarlik; 

206 

 

- 

qabul  qilish  shakli  metodlari:  og’zaki  nazorat,  individual  savol-javob; 

ob’yektlar bilan ishlash; konspektlash; 

2 bosqich. Asosiy qism (60 daqiqa); 

      -          o’qituvchi  faoliyati:  mavzuni  kiritish,Matematik  fizika  tenglamalarini 

o’rganish  bilan  bog’liq    oldingi  mavzuni  eslashni  taklif  etish;  amaliy  mashg’ulotlar 

matnini  tarqatish;  qo’shimcha  adabiyotlarda  tushunchalar  berish;  ish  usullari  bilan 

tanishtirish;  mashg’ulotlar  tarqatish;  tushunarsiz  savollarni  aniqlab,  ularni  echimi 

topishga 

yordamlash; 

gruppalarda 

ishlashni 

tashkillash; 

natijalarni 

muhokamalashtirish; 

      -          talaba  faoliyati:  oldingi  mavzu  bo’yicha  bilimlarni  mustahkamlash;  quloq 

solish,  yozib  olish;  tushunchalar  va  terminlarni  aytish;  savol  berishadi  va 

muhokamalashishadi,  aniqlashtirishadi;  gruppalarda  ishlashadi,  misol  va  masalalar 

ishlashadi; olingan natijalar muhokamasiga qatnashishadi 

-      qabul qilish shakli metodlari: og’zaki nazorat, grupalarda individual savol-javob; 

misol va masalalar echimlarini daftarga yozib olish 

 

3 bosqich. Yakuniy qism(10 daqiqa) 

      -         o’qituvchi  faoliyati:  mavzu  bo’yicha  xulosa  chiqarish;  talabalarni  fikrini  bir 

joyga  jamlash;  qilingan  ishlarning  muhimligini  aytib  o’tish;  javob  bergan  talabalarni 

ishini  baholash;  o’quv  darsning  maqsadiga  erishish  darajasini  baholash  va 

analizlashtirish; mustaqil ishlar topshiriqlari 

      -            talaba  faoliyati:  ish  analizi;  misol  va  masalalar  asosida  malaka  oshirish; 

o’zaro  baholash  o’tkazish;  yo’l  qo’yilgan  xatolarnini  aniqlash  va  analizlash;  berilgan 

mustaqil ishlarni yozib olishadi; 

         -    qabul qilish shakli metodlari: guruhda va individual ishlash; mustaqil ishlar 

uchun daftar tutish. 

 

 

 

 

1.3 O’quv-uslubiy qo’llanma 

O’quv mashg’ulotlar rejasi: 

- 

metodik qullanmalar va topshiriqlar bilan ishlash 

- 

Amaliy darslar uchun daftar tutish 

- 

o’quv topshiriqlar 

- 

amaliy ishlarni topshirish 

  

 

Misol va mashqlar namoishi 

Dalamber formulasi 

To’lqin tenglamasi uchun Koshi masasalasi  

 

Boshlang`ich shartlarda  

 

Bu yerda 

 berilgan funksiyalar bo`lib, Dalamber formulasi orqali topiladi 

207 

 

 

4.1 Misol. 

tenglamaning yeching. Tenglamada  

 

U holda 

 

 Dalamber formulasini qo`llasak 

 

4.2    Misol. 

  tenglamani  yeching 

Dalamber formulasidan: 

 

ya`ni, torni erkin tebranishi uchun biz qo`yidafi bir jinsli tenglamani 

2

2

2

2

2

x

u

a

t

u











                                                         (5.1) 

208 

 

),

(

),

(

0

0

x

F

t

u

x

f

u

t

t













                                    (5.2) 

boshlang`ich  shartlarda  yechish  kerak,  bu  yerda 

)

(x

f

va 

)

( x

F

  butun  sonli  o`qda 

berilgan funksiyalardir. Bunday masala boshlang`ich shartli masala`ki  Koshi masalasi 

deyiladi.  Bu  masalani  to`lqin  yugirishi  metodi  bilan  yechish  mumkin.  (5.1)  tenglama 

umumiy yechimining ko`rinishi qo`yidagicha: 

),

(

)

(

)

,

(

at

x

at

x

t

x

u













                               (5.3) 

bu  yerda   va     ikki  marta  differensiallanuvchi  sanaladi.   va   ni  shunday 

tanlaymizki 

)

,

(

t

x

u

u 

funksiya    (5.2)  boshlang`ich  shartlarni  qanoatlantirsak,  u  holda 

differensial tenglamaning yechishini keltirib chiqamiz. 

.

)

(

2

1

2

)

(

)

(

dz

z

F

a

at

x

f

at

x

f

u

at

x

at

x

















 

Uyga vazfa 

5.3 tenglamaning yechimini toping. 

,

2

2

2

2

x

u

t

u











 

Agar  

.

0

,

0

0













t

t

t

u

x

u

  bo’lsa 

Yechish. Ya`ni a=1, F(x)=0, u holda 

2

)

(

)

(

at

x

f

at

x

f

u









 

Bu yerda 

2

t

x

t

x

u









  

va  u=x 

Javob: u=x 

5.4  Tenglamaning yechimini toping

,

2

2

2

2

2

x

u

a

t

u











agar 

.

,

0

3

0

0

x

t

u

u

t

t













 

209 

 

Yechish.  Bu yerda 

.

)

(

,

0

)

(

3

x

x

F

x

f





 





.

)

(

1

2

2

)

2

2

(

8

1

)

2

2

)(

2

2

(

8

1

)

(

)

(

8

1

8

1

2

1

2

3

3

3

3

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

4

4

3

a

xt

t

x

t

xa

at

x

a

axt

t

a

x

a

t

a

axt

x

t

a

axt

x

t

a

axt

x

t

a

axt

x

a

at

x

at

x

a

z

a

dz

z

a

u

at

x

at

x

at

x

at

x

































































 

Javob: 

.

2

3

3

a

xt

t

x

u





 

5.5 

,

2

2

2

2

2

x

u

a

t

u











tenglama  bilan  aniqlanadigan  torning  formasini  toping 

,





t

momentda 

Agar 

.

,

cos

0

0

x

t

u

x

u

t

t













 

Yechish  

.

cos

cos

4

4

1

cos

cos

2

2

1

cos

cos

2

1

2

)

cos(

)

cos(

2

xt

at

x

atx

a

at

x

z

a

at

x

dz

z

a

at

x

at

x

u

at

x

at

x

at

x

at

x







































 

Agar 

,





t

bo`lsa, u holda 

.

cos

cos

x

x

a

u











 

Javob: 

.

cos

cos

x

x

a

u











 

 

Bir jinsli tebranish tenglamasi uchun chegaraviy masala 

,

2

xx

tt

u

a

u 

birjinsli  to`lqin  tenglamasi 

)

(

)

,

0

(

),

(

)

,

0

(

x

t

x

u

x

x

u













boshlang`ich 

shartlar va 

.

0

)

,

(

)

0

,

(





l

t

U

t

U

va chegaraviy shartlar bilan berilgan bo`lsin 

Berilgan  masala  Fure  metodi  bilan  yechiladi  agarda  yechim 

).

(

)

(

)

,

(

t

T

x

X

x

t

U



ko`rinishda ifodalansa 

)

,

( x

t

U

 berilgan tenglamaga qo`yib 

)

(x

X

va 

)

(t

T

funksiyhala 

210 

 

uchun  tenglamaga  ega  bo`lamiz. 

X

X

2









  tenglamani 

)

(x

X

ga   

0

)

(

)

0

(





l

X

X

chegaraviy shartlarga nisbatan yechsak  

.

,

sin

)

(

)

(

l

n

x

l

n

A

x

X

x

X

n

n

n

















 

T

a

T

2

2









tenglamani T(t)  nisbatan yechsak, 

,

cos

sin

)

(

)

(

t

l

n

a

D

t

l

n

a

C

t

T

t

T

n

n

n











 

bu  yerda, 

n

n

n

D

C

A

,

,

konstantalar.  Tenglamaning  birjinsligidan 

.

1



n

A

deb  olish 

mumkin. 

Demak, berilgan tenglamaning umumiy yechimi qo`yidagicha: 



















1

1

.

sin

)

cos

sin

(

)

(

)

(

)

,

(

n

n

n

n

n

n

x

l

n

t

l

n

a

D

t

l

n

a

C

t

T

x

X

x

t

U







 

n

n

D

C ,

Konstantalarni topish uchun boshlang`ich shartlardan foydalanamiz. 

).

(

)

,

0

(

),

(

)

,

0

(

x

x

x

U

x

x

U













 

U holda qo`yidagi tenglamalarga ega bo`lamiz 

















1

1

),

(

sin

),

(

sin

n

n

n

n

x

x

l

n

l

n

a

C

x

x

l

n

D











   

.

sin

)

(

2

,

sin

)

(

2

0

0

xdx

l

n

x

n

a

C

xdx

l

n

x

l

D

l

n

l

n



















 

1.Misol.  Bir jinsli to`lqin tenglamasi uchun chegaraviy masalani yeching 

.

0

)

,

(

)

0

,

(

,

0

)

,

0

(

),

(

)

,

0

(

5

,

1

,

2



















l

t

U

t

U

t

x

U

x

l

x

x

U

a

U

a

U

xx

tt

 

Yechim qo`yidagi ko`rinishga yoziladi. 











1

,

sin

)

cos

sin

(

)

,

(

n

n

n

x

l

n

t

l

n

a

D

t

l

n

a

C

x

t

U







 

bu yerda 

211 

 

0



n

C

,

0

)

(



x



, 







l

n

xdx

l

n

x

l

x

l

D

0

sin

)

(

2



, 

),

(

)

(

x

l

x

x







 

n

D

 

Hisoblashlarni ikki marta qismlarga integrallashlardan boshlaymiz 

 

 

 

 

 

 

 





 





.

)

1

(

1

4

cos

1

4

4

cos

4

|

cos

4

sin

4

|

sin

)

2

(

2

sin

)

2

(

2

)

2

(

cos

2

|

cos

)

(

2

cos

)

(

2

sin

)

(

2

1

3

2

3

2

3

2

3

2

0

3

2

0

2

0

0

2

2

0

0

0

0





































































n

l

l

l

l

l

l

l

l

n

n

l

n

n

l

n

l

n

n

l

x

l

n

n

l

xdx

l

n

n

l

x

l

n

x

l

n

l

x

l

n

d

x

l

n

l

dx

x

l

x

l

n

n

x

l

n

x

l

x

n

x

l

n

d

x

l

x

n

xdx

l

n

x

l

x

l

D











































 

Jabob: 

 





.

sin

5

,

1

cos

)

1

(

1

4

)

,

(

1

1

3

2

x

l

n

t

l

n

n

l

x

t

U

n

n



















