Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti differentsial tenglamalar kafedrasi

 

 

O’quv mashqlar  

–misol va masalalarni eching  

–teoremani isbotlang  

–shu mavzuni nazariyasini o’qib oling 

 

Uyga vazifa 

Tenglamaning tipini aniqlang va uni kanomik ko’rinishga keltiring . 

1) 1. 

2

3

5

0

xx

xy

yy

x

y

U

U

U

U

U











 

Yechilishi: 

Bunda 

1

,

2

,

1

22

12

11









a

a

a

 

 

0

1

2

2











 

 

 

 

 





0

1

2







 

190 

 

1





  demak tenglama parabolik kurinishdagi tenglama ekan. 

Umumiy nazaraiyaga asosan uzgaruvchilarni kuyidagicha almashtiramiz 

x

y 





 

x





 

Xosilalarni xisoblasak  





U

U

U

x







; 







U

U

U

U

xx







2

; 



U

U

y



; 



U

U

yy



; 





U

U

U

xy







; 

Bularni tenglamaga kuyib  

0

5

3

3

2

2

2





































U

U

U

U

U

U

U

U

U

 

soddalashtirish natijasida 

0

8

3













U

U

U

kurinishdagi kanonik tenglamag 

kelamiz. 

2.   

0

2









y

yy

xy

xx

u

u

u

u

 

Xarakteristik tenglamasini tuzamiz: 

1

11



а

     

1

12





а

  

1

22



а

 

0

1

2

2











 

0

)

1

(

2







 

1

2

,

1







    

1

2

1















 

Bu yerda 

1

2

,

1







 bulganligi uchun bu parabolik tipdagi tenglama. 

U xolda kuyidagicha almashtirish kiritamiz: 

1

2

1











 





















x

у

х

x

y

у

х

,

,







    



 





















x

у

х

x

y

у

х

.

.





  



 











1

1

х

х





     

0

1





y

y





 













u

u

u

u

u

x

x

x









 















u

u

u

u

u

u

y

y

y















0

1

 

 

 















u

u

u

u

u

u

u

u

x

x

x

xx















2

)

(

 

191 

 

 









u

u

u

u

u

y

yy













0

1

 





   













u

u

u

u

u

u

u

y

y

y

xy













 

Tenglamani urniga kuyamiz: 

0

2

2

2





























u

u

u

u

u

u

u

 

Berilgan tenglamaning kanonik kurinishi kuyidagicha buladi: 

0









u

u

 

3. 

;

0

2

2

2







yy

xy

xx

u

x

u

xy

u

y

 

 

 

Tavsiya etiladigan adabiyotlar 

Asosiy 

1.  Saloxiddinov  M.S.  Matematik  fizika  tenglamolari.  T.,  «O’zbekistan»,  2002, 

448 b. 

2.  Mixlin S.G. Kurs matematicheskoy fiziki. M, 1968, 

3.  Sobole» SL. Uravneniya matematicheskoy fiziki. M. 1966. 

4.  Bisadzs L.V. Uravneniya matematicheskoy fiziki. M. 1976. 

5.  Bisadze   A.V.,   Kalinichenko   D.F.   Sbornik   zadach   po    uravneniyam 

matematicheskoy fiziki. M. 1977. 

 

Qo’shimcha 

6.  Tixonov    A.P.,    Samarskiy    A.A.    Uravneniya  matematicheskoy  fiziki.  M. 

1968. 

7.  Koshlyakov  B.C.,  Glipsr  E.B.,  Smirnov  M.M.  Osnovnыye  differensialnыye 

uravneniya matematicheskoy fiziki. M. 1962. 

8.  Vladimirov B.C. Uravneniya matematicheskoy fiziki. M. 1981. 

9.  Polojii G.11. Uravneniya matematicheskoy fiziki. M. 1964. 

10. Petrovskiy I.G. Leksii ob uravneniyax s chastnыmi proizvodnыmi. M., 1961. 

11. Mixlnn S.G. Leksii po lineynыm integralnыm uravneniyam. M. 1959. 

12. Smirnov M.M. Sbornik zadach po uravneniyam matematicheskoy fiziki. 

192 

 

13. Budak      B.M.,     Samarskiy     A.A.,     Tixonov      A.N.     Sbornik     zadach     po 

matematicheskoy fizike. M. 1972. 

14. Vladimirov  13.S,  Mixaylov  V.P.  i  dr.  Sbornik  zadach  po  uravneniyam 

matematicheskoy fiziki. M. 1974. 

 

 

Mavzu bo’yicha yangi tushunchalar uchun savollar. 

     

 

1. 

Xususiy  xosilali    differensial  tenglama    qachon  parabolik  tipdagi  tenglama 

deyiladi? 

2. 

2–chi  tartibli  o’zgarmas  koeffisiyentli  parabolik  tipdagi  tenglamani  kanonik 

shakliga keltirish yo’lini  ayting. 

193 

 

Mavzu 4. 2-chi tartibli xususiy xosilali d.t. klassifikasiya (elliptik  tip) 

 

 

Amaliy mashg’ulotlar rejasi 

Fan: “ Matematik fizika tenglamalari“. 

O’quv soati: 2 s. (amaliy) 

O’quv  mashg’ulotlar  turi:  kartochka,  topshiriq,  o’quv  materiallar  va    metodik  

qullanma  vositasi bilan amaliy mashg’ulotlar. 

O’quv mashg’ulotlar rejasi:  

- 

tarqatma materiallar tayyorlash. 

- 

o’quv masalalari. 

- 

Misol va masalalar echish 

- 

Yakuniy tahlil 

O’quv mashg’ulotlar maqsadi: 

 

Misol  va  masalalar  echish  vositasi  bilan  Nazariy  bilimlarni  amaliy 

mashg’ulotlar bilan chuqurlashtirish 

O’quv mashg’ulotlar vazifasi: 

- 

o’qituvchi: 

mavzu 

bo’yicha 

olgan 

bilimlarni 

sistemalashtirish 

va 

mustahkamlash 

- 

rivojlantiruvchi:  o’rganish  tajribasini  oshirish,Matematik  fizika  tenglamalari 

nazariyasini  o’rganish,  analiz  va  o’rganish  natijalarini  umumlashtirish  mahoratini 

rivojlantirish; student ijodiy mahoratini shakllantirish; 

- 

tarbiyaviy:  mustaqil  izlanish  mahoratini  uyg’otish  ;  jamoa  bilan  ish  yuritish 

qoidalariga  bo’ysunish.  Fanga  qiziqishni  rivojlantirish,  ma’suliyatni  his  qilish  , 

mehnatsevarlik, individual ishni kollektiv bilan moslashni o’rgatish. 

O’qitish texnologiyasi: 

- 

o’qitish metodlari:  individual savol-javob; birga o’qitish;o’quv qo’llanmalarga 

asoslanib  teoremalarni isbotlash, misollar echish mahoratini o’rgatish 

- 

o’qitish shakllari:  individual, kollektiv. 

- 

o’qitish  vositalari:  daftarda  va  dockada  misol  va  masalalar  echish,  metodik 

ishlanmalar va amaliy ko’rsatmalar 

- 

 o’qtish shartlari: auditoriya 

- 

monitoring  va  baholash:  og’zaki  nazorat,  individual  savol-javob  ,  material 

tushuntirilishi, nazorat ishi. 

Pedagogik masalalar : 

- 

mavzu  bo’yicha    bilimlarni  mustahkamlash  uchun  o’rganuvchilarni  anglash 

faoliyatini tashkillashtirish 

- 

namuna bo’yicha amaliyotda bilimlarni mustahkamlash; 

- 

mustaqil oliy  matematika  o’rganishni shakllantirish;  

O’quv faoliyati natijalari: 

- 

kurs mavzulari bo’yicha bilimlarni sistemalashtirish va mustahkamlashtirish; 

- 

o’rgangan tushunchalar bilan amaliy mashgulotlarda ishlay olish; 

- 

misol  va  masalalarni  echishda,  hamda  teoremalar  isbotlashda  matematik 

terminalogiyalarni va tushunchalarni qo’llashni  mustaqil o’rganish mahorati; 

- 

mustaqil misol va masalalarni echa olish mahoratini oshirish; 

- 

tajriba natijalarini analiz qila olish; 

 

194 

 

1.2 Amaliy mashg’ulotning xronologik xaritasi. 

1 bosqich. O’quv mashg’ulotlarga kirish (10 daqiqa); 

 

- 

o’qituvchi  faoliyati:  tayyorgarlikni  tekshirish  (konspektning  mavjudligi; 

tayyorgarlik,  qatiyatlik  va  aniqlik,  davomat);  zarur  materillarni  tarqatish  (metodik 

qo’llanmalar,kartochkalar);  amaliy  darsning  maqsadi  va  mavzuni  aytish  ;  o’quv 

darsining rejasi bilan tanishtirish, tushuncha va jumlalar; adabiyotlar ruyxati; Reyting-

kontrol  sistemasi  bilan  tanishtirish;  joriy  nazorat  baholash  mezonlari;o’quv  ishlari 

yakunlarining rejalarini taqdimlash; 

- 

talaba  faoliyati:  o’quv  joyini  tayyorlash  (o’quvchilarning  borligi;  tashqi 

ko’rinish; uquv va tarqatma materiallar); mavzu bilan tanishuv va o’quv dars maqsadi; 

o’quv materialni qabul qilishga tayorgarlik; 

- 

qabul  qilish  shakli  metodlari:  og’zaki  nazorat,  individual  savol-javob; 

ob’yektlar bilan ishlash; konspektlash; 

2 bosqich. Asosiy qism (60 daqiqa); 

      -          o’qituvchi  faoliyati:  mavzuni  kiritish,Matematik  fizika  tenglamalarini 

o’rganish  bilan  bog’liq    oldingi  mavzuni  eslashni  taklif  etish;  amaliy  mashg’ulotlar 

matnini  tarqatish;  qo’shimcha  adabiyotlarda  tushunchalar  berish;  ish  usullari  bilan 

tanishtirish;  mashg’ulotlar  tarqatish;  tushunarsiz  savollarni  aniqlab,  ularni  echimi 

topishga 

yordamlash; 

gruppalarda 

ishlashni 

tashkillash; 

natijalarni 

muhokamalashtirish; 

      -          talaba  faoliyati:  oldingi  mavzu  bo’yicha  bilimlarni  mustahkamlash;  quloq 

solish,  yozib  olish;  tushunchalar  va  terminlarni  aytish;  savol  berishadi  va 

muhokamalashishadi,  aniqlashtirishadi;  gruppalarda  ishlashadi,  misol  va  masalalar 

ishlashadi; olingan natijalar muhokamasiga qatnashishadi 

-      qabul qilish shakli metodlari: og’zaki nazorat, grupalarda individual savol-javob; 

misol va masalalar echimlarini daftarga yozib olish 

 

3 bosqich. Yakuniy qism(10 daqiqa) 

      -         o’qituvchi  faoliyati:  mavzu  bo’yicha  xulosa  chiqarish;  talabalarni  fikrini  bir 

joyga  jamlash;  qilingan  ishlarning  muhimligini  aytib  o’tish;  javob  bergan  talabalarni 

ishini  baholash;  o’quv  darsning  maqsadiga  erishish  darajasini  baholash  va 

analizlashtirish; mustaqil ishlar topshiriqlari 

      -            talaba  faoliyati:  ish  analizi;  misol  va  masalalar  asosida  malaka  oshirish; 

o’zaro  baholash  o’tkazish;  yo’l  qo’yilgan  xatolarnini  aniqlash  va  analizlash;  berilgan 

mustaqil ishlarni yozib olishadi; 

         -    qabul qilish shakli metodlari: guruhda va individual ishlash; mustaqil ishlar 

uchun daftar tutish. 

 

 

 

 

1.3 O’quv-uslubiy qo’llanma 

O’quv mashg’ulotlar rejasi: 

- 

metodik qullanmalar va topshiriqlar bilan ishlash 

- 

Amaliy darslar uchun daftar tutish 

- 

o’quv topshiriqlar 

- 

amaliy ishlarni topshirish 

  

 

Misol va mashqlar namoishi 

2-chi tartibli xususiy xosilali d.t. klassifikasiya (elliptik  tip) 

195 

 

2-chi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar klassfikasiyasi (elliptic tip) 

Ikkinchi tartibli chiziqli tenglama 

 

§1. Ikkinchi tartibli chiziqli tenglamalarning klassfikasiyasi. 

Ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli yuqori tartibli gosilaga rga bo`lgan tenglamani 

qarab chiqamiz 

,

0

)

,

,

,

,

(

2

22

12

11









y

x

yy

xy

xx

u

u

u

y

x

F

u

a

u

a

u

a

              (4.1) 

Bu yerda 

22

12

11

,

,

a

a

a

lar X va Y funksiyalar hisoblanadi. 

 

O`zgaruvchilarni almashtirish yordamida  

),

,

(

),

,

(

y

x

y

x













 

Buning uchun detirminantnoldan farqli bo’lishi kerak  

y

y

x

x

D











 

Berilgan  tenglamaga  ekvivalent  tenglamaga  ega  bo`lamiz.    Bizni  qo`yidagi  savol 

qiziqtiradi:   va



  yangi  o`zgaruvchilarni  qanday  olish  kerakki,  berilgan  tenglama 

soddaroq (kanonik) ko`rinishga ega bo`lsa. 

Yangi o`zgaruvchilarga o`tib: 









.

2

)

(

)

(

)

(

)

(

2

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

,

,

2

2

2

2

2

2

xx

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

y

y

y

x

x

x

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u



























































































































































































































 (4.2) 

 

Xuddi shunday  

.

2

,

)

(

2

2

yy

yy

y

y

y

y

yy

xy

xy

y

x

x

y

y

x

y

x

xy

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u











































































                  (4.3) 

Bu hosilalarni (4.1)-ga qo`ysak: 

,

0

)

,

,

,

,

(

2

1

22

12

11









u

u

u

F

u

a

u

a

u

a















                       (4.4) 

Bu yerda  

196 

 

.

2

,

)

(

,

2

2

22

12

2

11

22

22

12

11

12

2

22

12

2

11

11

y

y

x

x

y

y

y

x

y

x

x

x

y

y

x

x

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a





















































                          (4.5) 

Shuni ta`kidlaymizki, agar berilgan tenglama chiziqli, ya`ni 

,

)

,

,

,

,

(

2

1

f

cu

u

b

u

b

u

u

u

y

x

F

y

x

y

x









 

U holda  

1

F qo`yidagi ko`rinishga ega. 

.

)

,

,

,

,

(

2

1

1





























u

u

u

u

u

u

F

 

Bu yo`l bilan, tenglama yana chziqli bo`ladi. 

)

,

(

y

x







o`zgaruvchini hunday olamizki, 

 (4.4) tenglamadagi