Aмалий иш. “Maple” дастурида турли хил математик масалалар ечиш усуллари билан танишиш

maximize ва minimize буйруқлари абсалют экстремумларни тез аниқлайди, аммо локал экстремумларни аниқлашни хамма вақт ҳам удаллай олмайди. Extrema буйруғи функция қийматга эга бўлмаган критик нуқталарни ҳам аниқлайди. Бундай ҳолларда ҳосил бўлган натижаларнинг биринчи сатридаги функциянинг экстремал қийматларининг сони, иккинчи сатридаги аниқланган критик нуқталар сонидан камроқ бўлади.
f(x) функциянинг x=x₀ нуқтадаги топилган экстремумининг хусусиятини функциянинг иккинчи тартибли ҳосилани топиш орқали аниқлаш мумкин: агар бўлганда, x₀ нуқтада min, бўлса, x₀ нуқтада mах бўлади.
Mapleнинг аналитик ҳисоблашлар пакетининг оҳирги варианларида maximize ва minimize буйруқларнинг юқорида кўрсатилган камчиликлари бартараф этилган. Максимум ёки минимум нуқталарнинг координаталарини, бу буйруқларнинг параметрларларида ўзгарувчидан кейин «,» (вергул) белги билан янги location параметрини ёзиш орқали ҳосил қилиш мумкин. Натижада чоп этиш сатрида функция максимуми (ёки минимуми) дан сўнг фигурали қавсларда максимум (ёки минимум) нуқтанинг координаталари кўрсатилади. Масалан:
> minimize(x^4-x^2, x, location);
, { , }
Натижани чоп этиш сатрида минимум нуқтанинг координатлари ва бу нуқтадаги функция қиймати ҳосил бўлди.
extrema, maximize ва minimize буйруқлари readlib(name) буйруғи орқали буйруқларнинг стандарт кутубхонасидан албатта юкланиши лозим, бу ерда name – юкланувчи буйруқ номи.
Мисоллар:

1. 
   нинг max ва min лари топилсин. Ечиш:
   

> readlib(extrema):
> y:=(x^2-1/2)*arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x^2)/4-Pi*x^2/12:
> extrema(y,{},x,'s');s;


Бу буйруқлар орқали функция экстремумлари ва экстремум нуқталар аниқланди. Иккинчи сатрдаги х экстремумлар координатларининг жойлашиш тартиби биринчи сатрдаги функция қийматларининг жойлашиш тартибига мос келади. Шундай қилиб, (0,0) ва (1/2, –/24+ ) нуқталарда экстремумлар топилди. Энди уларнинг қайси бири максимум ва қайси бири минимумлигини аниқлаш керак. Бунинг учун maximize ва minimize буйруқларидан фойдаланилади:
> readlib(maximize):readlib(minimize):
> ymax:=maximize(y,{x});

> ymin:=minimize(y,{x});

Натижани янги сатрда матнли тартибда киритамиз:
“Экстремумлар: , .”
Математик символлар ва грек ҳарфларини матнли тартибида киритиш учун ускуналар панелидаги «Сумма» белгили тугмачани танлаш керак. Ускуналар панелининг пастида ҳосил бўлган сатрда одатдаги буйруқлар киритилади ва Enter тугмаси босилади. Масалар, ни ҳосил қилиш учун сатрда sqrt(3) формула киритилади. Матнли тартибга ўтиш учун ускуналар панелидаги «Т» белгили, яъни тугмача танланиши мумкин.
Демак, иккинчи сатрдаги формулани киритишни қуйидаги тартибда бажариш мумкин:
Матнли тарибда miny(x)=y(1/2)= ни киритилади;
тугма танланади;
формула қаторида -Pi/24+sqrt(3)/16 ни киритилади;
Enter;

Матнли тартибга қайтилади.

2. нинг оралиқдаги энг катта ва энг кичик қийматлари топилсин. Ечиш:

> f:=x^2*ln(x):
> maximize(f,{x},{x=1..2});

> minimize(f,{x},{x=1..2}):simplify(%);

Натижани янги сатрда матнли тартибда ҳосил қилинади:
”Энг катта қиймати: , энг кичик қиймати: “.
3. функциянинг экстремумлари топилсин ва иккинчи тартибли ҳосила орқали уларнинг хусусиятлари аниқлансин.
Ечиш:
> restart:y:=x^3/(4-x^2): readlib(extrema): readlib(maximize): readlib (minimize):
> extrema(y,{},x,'s');s;
{ }
{{x=0},{ },{ }}
Иккита экстремум ва учта критик нуқталар топилди. Текширишни иккинчи тартибли ҳосила ёрдамида давом эттириш мумкин:
> d2:=diff(y,x$2): x:=0: d2y(x):=d2;
d2y(0):=0
> x:=2*sqrt(3):d2y(x):=d2;

> x:=-2*sqrt(3):d2y(x):=d2;

бўлганлиги учун x=0 нуқтада экстремум йўқ. бўлганлиги сабабли нуқтада максимумга, бўлганлиги сабабли нуқтада минимумга эришилади. Натижани янги сатрда матнли тартибда ҳосил қилиш мумкин.
“Максимум ( ) нуқтада, минимум ( ) нуқтада”.