Amaliy mashg’ulot: Variatsion hisob asosiy masalasida funksionalning ikkinchi variatsiyasini hisoblash

4-teorema (Yakobi). Faraz qilaylik:

a) -kuchsiz minimal(maksimal)

bo’lsin. U holda y⁰(x) funksiya Yakobi shartini qanoatlantiradi: (x₀,x₁) oraliqda y⁰(x) chiziq bo’ylab x₀ nuqtaga qo’shma nuqta mavjud emas.

4. Kuchsiz ekstremumning yetarli shartlari.

Shunday qilib, variatsion hisob asosiy masalasida ekstremumning birinchi tartibli zaruriy sharti joiz funksiyaning statsionarligi (Eyler tenglamasining bajarilishi) bo’lsa, Lejandr va Yakobi shartlari –ikkinchi tartibli zaruriy shartlardir.

Sodda misollar ko’rsatadiki, bu uchala shartning birortasi ham alohida olinganda ekstremumning yetarli sharti bo’la olmaydi. Ammo ular birgalikda kuchsiz ekstremumning yetarli shartiga yaqinroqdir.

Quyida Lejandr va Yakobi shartlarini kuchaytirish natijasida kelib chiqadigan yetarli shartlarni keltiramiz.

5-teorema. Faraz qilaylik:

a) joiz statsionar funksiya bo’lsin;

b) kuchaytirilgan Lejandr sharti bajarilsin:

;

v) kuchaytirilgan Yakobi sharti o’rinli bo’lsin: y⁰(x) joiz chiziq bo’ylab (x₀,x₁] da x₀ nuqtaga qo’shma x* nuqta mavjud emas.

U holda y⁰(x)- variatsion hisobning asosiy masalasida kuchsiz lokal minimal (maksimal) bo’ladi.