Amaliy mashg’ulot: Variatsion hisob asosiy masalasida funksionalning ikkinchi variatsiyasini hisoblash

Variatsion hisob asosiy masalasida funksionalning ikkinchi variatsiyasini hisoblash.

W – chiziqli normalangan fazo, J=J[u,v] funksional har bir o’zgaruvchisi bo’yicha chiziqli bo’lsin. Agar u=v deb olsak, hosil bo’lgan J[u,u] funksionalga kvadratik funksional deyiladi. Masalan, agar a(x)-[x₀,x₁] oraliqda aniqlangan uzluksiz funksiya bo’lsa,

funksional W=C[x₀,x₁] fazoda har bir u=u(x) va v=v(x) elementlar bo’yicha chiziqli funksionaldir. Bu yerda u=v deb olib, C[x₀,x₁] da aniqlangan

kvadratik funksionalga ega bo’lamiz.

1-ta’rif. W chiziqli normalangan fazoning elementi va uning ixtiyoriy elementi uchun funksionalning orttirmasi

(1)

ko’rinishdagi yoyilmaga ega bo’lsin, bu yerda ga nisbatan chiziqli funksional, esa ga nisbatan kvadratik funksional, U holda J[y] funksional nuqtada ikkinchi variatsiyaga ega deyiladi. h ga nisbatan kvadratik funksional esa, J[y] funksionalning Freshe bo’yicha ikkinchi variatsiyasi deyiladi hamda bu variatsiya kabi belgilanadi: .

W chiziqli normalangan fazoning biror V to’plamida aniqlangan J[y] funksional berilgan bo’lsin. V to’plam, yoki to’plam W ning chiziqli qism fazosi bo’lsin.

2-ta’rif. funksiyaning nuqtada ikkinchi tartibli hosilasiga J[y] funksionalning Lagranj bo’yicha ikkinchi variatsiyasi deyiladi:

.

1-teorema. Agar y₀V nuqta J[y] funksionalning kuchsiz lokal minimali (maksimali) bo’lsa, u holda shu nuqtada hisoblangan ikkinchi variatsiya manfiymas (musbatmas) bo’ladi:

.

2-teorema. Agar J[y] funksional y₀V nuqtada birinchi va ikkinchi variatsiyalarga ega bo’lib, ular

(2)

(bu yerda >0 – biror o’zgarmas) shartlarni qanoatlantirsa, u₀ – lokal minimum (lokal maksimum) nuqtasi bo’ladi.

2.