Analitik geometrya

Natija: muntazam ko‘pyoqlarning ko‘pi bilan 5 turi mavjuddir
Isbot: Muntazam ko‘pyoqning har bir uchidan r ta qirra chiqib, har bir yoqqa n ta tomon bo‘lsin. U holda2k=nf⇒2k=r*l. f=_{ },l=_{ } ni Eyler teoremasidagi f, l ning o‘rniga qo‘ysak,
_{ }=2yoki _{   } = _{ } . (*)
Ravshanki, n, r bir vaqtda 3 dan katta bo‘la olmaydi, aks holda _{     } bo‘lib (*) ifoda o‘rinli bo‘lmaydi, chunki r>0 quyidagi hollar yuz berishi mumkin:

1. 
   n=3 bu vaqtda (*) dan _{ } r, k ning natural sonlar ekanligidan: r=3 da k=6; r=4 da k=30; buning geometrik ma‘nosi shundan iboratki, yoqlari muntazam uchburchakdan iborat muntazam ko‘pyoqning har bir uchidan 3 ta qirra chiqadi (tetraedr), 4 ta qirra chiqadi(oktaedr), 5 ta qirra chiqadi (ikosaedr).
   
2. 
   r=3, bu vaqtda (*) dan _{ }; n, k ning natural sonlar ekanligidan: n=3 da k=6; n=4 da k=12; n=5 da k=30. buning geometrik ma‘nosi shundan iboratki, har bir uchdan uchta yoq chiqib, ularning har biri muntazam uchburchak bo‘lishi mumkin (tetraedr), muntazam to‘rtburchak bo‘lishi mumkin (kub), muntazam beshburchak bo‘lishi mumkin (dodekaedr). Demak, muntazam ko‘pyoqning faqatgina 5 ta turi mavjuddir.
   

2.4-§. Ko‘pyoqlar va aylanish figuralari kombinatsiyasi
Prizma va aylanish figuralari kombinatsiyalari. Silindrga prizma ichki chizilgan deyiladi (silindr- prizmaga tashqi chizilgan), agarda prizma asosi silindr
asosiga ichki chizilgan bo‘lsa.
Teorema: Prizmaga tashqi silindr chizish uchun prizmaning to‘g‘ri va uning asosiga tashqi aylana chizish mumkin bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Xususiy holda har qanday uchburchakli prizmaga va har qanday muntazam prizmaga tashqi silindr chizish mumkin. silindrga ichki chizilgan prizmaning har qaysi yon qirrasi silindrni yon yasovchisi deyiladi.
Prizma silindrga tashqi chizilgan deyiladi (silindr –prizmaga ichki chizilgan), agarda prizma asosi silindr asosiga tashqi chizilgan bo‘lsa.

Teorema: Prizmaga ichki silindr chizish uchun prizmaning to‘g‘ri va uning asosiga ichki aylana chizish mumkin bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Xususiy holda, har qanday uchburchakli prizmaga va har qanday muntazam prizmaga ichki silindr chizish mumkin. Silindrga tashqi chizilgan prizmaning yoqlari, silindrning yon sirtiga uning yasovchisi bo‘yicha o‘rinadi. Bu yasovchisi mos ravishda silindr asoslari va prizma asoslari o‘rinish nuqtalaridan o‘tadi.
Prizma sharga ichki chizilgan deyiladi (shar esa prizmaga tashqi chizilgan), agarda
prizmaning uchlari shar sirtiga egishli bo‘lsa.
Teorema: Prizmaga tashqi shar chizish uchun prizmani to‘g‘ri va uning asoslariga tashqi aylana chizish mumkin bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Xususiy holda, har qanday muntazam prizmaga tashqi shar chizish mumkin.
Prizmaga tashqi chizilgan sharning markazi, prizma asoslariga tashqi chizilgan aylanalar markazlarini tutashtiruvchi kesmaning o‘rtasida bo‘ladi.
Prizmaning barcha yoqlari sharga o‘rinsa, u holda shar prizmaga ichki chizilgan
(prizmaga esa shar tashqi chizilgan) deyiladi.
Teorema: Prizmaga ichki shar chizish uchun prizmaning perpendikulyar kesimiga ichki aylana chizish mumkin bo‘lishi va prizmaning balandligi bu aylana
diametriga teng bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Xususiy holda, muntazam prizmaga ichki shar chizish mumkin, qachonki, uning balandligi asosiga ichki chizilgan aylana diametriga teng bo‘lsa.