Analitik geometrya

Kurs ishining dolzarbligi: Ko‘pyoqlar, muntazam ko‘pyoqlar umuman olganda stereometriya bo‘limida o‘quvchilar uni o‘rganishda ko‘p qiyinchiliklarga duch kelishlari mumkin. Shuning uchun ham uni o‘rgatish dolzarb masalalardan biri hisoblandi.
Bundan tashqari matematika fani xususan uning asosiy bo‘limlaridan biri stereometriya bo‘limi o‘quvchilarni iroda diqqatni to‘plab olishni, qobilyat va faollikni, tasavvurining rivojlangan bo‘lishini talab eta borib, mustaqil, ma‘sulyatli, mehnatsevar, intizomli va mantiqiy fikrlash hamda o‘zining qarash va e‘tiqodlarini dalillar asosida himoya qila olish ko‘nikmalarini rivojlantirishni talab etadi.
Kurs ishining maqsadi: Ko‘pyoqlar, muntazam ko‘pyoqlar xossalarini o‘rganish, ularga doir misol va masalalarni yechish usullarini o‘rganish.
Kurs ishining obyekti: Stereometriya bo‘limi
Kurs ishining predmeti: Ko‘pyoqlarning xossalari, ularga oid misol va masalalar
Kurs ishining vazifalari:

1. 
   Mavzuga doir ma’lumotlarni yig‘ish va rejani shakllantirish;
   
2. 
   Ko‘pyoqlarning xossalarini o‘rganish;
   
3. 
   Ularga oid misol va masalalarni o‘rganish;
   
4. 
   Kurs ishini jihozlab uni himoyaga tayyor qilish.
   

I BOB
KO‘PYOQLAR HAQIDA UMUMIY TUSHUNCHALAR

1.1-§. Qavariq figuralar. Qavariq ko‘pyoqlar
Nuqtalardan tashkil topgan har qanday to‘plamning figura deb atalishini eslatib o‘tamiz.
Ta’rif: F figuraning ixtiyoriy ikki A B nuqtasini tutashtiruvchi AB kesmaning barcha nuqtalari F ga tegishli bo‘lsa, F qavariq figura deb ataladi. Bo‘sh to‘plam va bitta nuqta ham qavariq deb ataladi.

1-rasm 2-rasm

1-rasmda tasvirlangan figura qavariq, lekin 2-rasmdagi figura qavariq emas fazoviy figuralardan shar, piramida, doiraviy silindr va shu kabilar qavariq figuralarga misoldir.
Bu figuralarning chegaralari o‘ziga tegishli yoki tegishli bo‘lmasligi mumkin. Bundan tashqari shunday qavariq figuralar borki, ular yo to‘g‘ri chiziqqa, yoki tekislikka tegishli bo‘ladi. Birinchi holda bir o‘lchovli, ikkinchi holda ikki o‘lchovli qavariq figura berilgan deymiz. Barcha nuqtasi bir tekislikda joylashmagan qavariq figura uch o‘lchovli qavariq figuradir.
Bir o‘lchovli qavariq figuralar uchtadir, ular kesma, nur va to‘g‘ri chiziqning o‘zidir.
Qavariq figuralar qator xossalarga ega:
1. Qavariq yassi figura uchun va bo‘lsa, AB kesmaning barcha nuqtalari ham ga tegishlidir.
Isbot: F yassi qavariq figura bo‘lsin. A, B nuqtalar F ning ichki nuqtalari bo‘lgani uchun shunday , sonlar topiladiki, , doiralar F ga to‘la tegishli bo‘ladi. F ning qavariq ekanligidan bu doiralar va ularga o‘tkazilgan tashqi umumiy urinmalar orasida hosil qilingan F₀ figura ham qavariq va (3-rasm).


3-rasm.
AB kesmaning ixtiyoriy nuqtasi C bo‘lsin. U holda , sonlardan kichigini deb olsak, doira F₀ ga tegishli va bo‘lgani uchun , demak, .
1. F- qavariq figura va bo‘lsa, AB kesmaning A dan boshqa barcha nuqtalari F ning ichki nuqtasidir.
2. F- qavariq figura va bo‘lsa, yoki AB kesmaning uchlaridan boshqa barcha nuqtalari F ning ichki nuqtasi bo‘ladi.
Bu ikki xossa ham 1-xossaga o‘xshash isbotlanadi.

1. 
   F qavariq figuraning ichki nuqtasidan o‘tgan u to‘g‘ri chiziq F ning ikkitadan ortiq chegara nuqtasini o‘z ichiga olmaydi.
   

Isbot: , bo‘lsin. Faraz qilaylik, u to‘g‘ri chiziqda Fning ikkitadan ortiq aniqrog‘i uchta nuqtasi bo‘lsin, ularni A, B, C bilan belgilaylik. Bu uch nuqtaning kamida ikkitasi, masalan A, B lar M₀ ning bir tomonida va A, B ning bittasi, masalan B nuqta A bilan M₀ orasida yotadi; demak 2-xossaga asosan B nuqta F ning ichki nuqtasidir. Bu esa B ni chegara nuqta degan farazimizga ziddir.
2. Agar u to‘g‘ri chiziq qavariq F figuraning bitta ham ichki nuqtasidan o‘tmasa F figura u to‘g‘ri chiziq bilan aniqlanadigan yopiq yarim tekisliklardan faqat biriga tegishlidir.
Isbot: , bo‘lsin. A nuqta va u to‘g‘ri chiziq bilan aniqlanadigan yarim tekislikni deb belgilaylik. ekanini isbotlaymiz. Agar F ga tegishli lekin [u, A) yarim tekislikka tegishli bo‘lmagan B nuqta mavjud deb faraz qilsak, AB kesmaning barcha nuqtalari 1- va 2-xossaga asosan F ning ichki nuqtalari bo‘ladi hamda AB kesma u to‘g‘ri chiziqni kesib, kesimda hosil etilgan nuqta F ning ichki nuqtasi bo‘ladi. Bu esa shartga zid. Demak, F ning barcha nuqtalari [u, A) ga tegishlidir.