Анализ системы линейных уравнений с помощью теоремы кронекера- капелли курсовой работа

1.2.2 Метод Крамера

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Д ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение - на A21 и 3-е - на A31:

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

.

Далее рассмотрим коэффициенты при x2:

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: .

Следовательно,


.

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Д ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

1.2.3 Метод Гаусса

Метод Гаусса основывается на следующей теореме: элементарным преобразованиям строк расширенной матрицы системы отвечает превращение этой системы в эквивалентную.
С помощью элементарных преобразований строки расширенной матрицы, а также перемены местами столбцов, что отвечает перепозначенню переменной, матрица сводится к ступенчатой (или трапециевидной) форме. Этой матрице ставится в соответствие система, эквивалентная исходной. Это прямой ход метода Гаусса. Решение полученной системы осуществляется снизу вверх (обратный ход метода Гаусcа).
Более детально этот процесс выглядит так: матрица в результате элементарных преобразований принимает такой вид:


.

Тогда возможны несколько случаев:

. Хотя б одно с чисел отличное от нуля, тогда і система несовместная.
. Числа , тогда
а) , система совместная, имеет единственное решение;
б) , система совместная, имеет бесконечное множество решений.
В случае совместимости системы, ставим последней матрице в соответствие систему уравнений вида

Эту систему переписываем, оставляя базисные переменные слева, свободные - справа

Именно эту систему решаем, начиная снизу вверх.

В результате получаем или единственное решение, или множество решений, которые записываются в виде общего решения.
Метод Гаусса представляет собой метод последовательного исключения переменной. Вычислительная процедура гауссових исключений может быть формализирована с помощью простых правил.
Назовем переменную, которая исключалась, разрешающей, коэффициент при ней - разрешающим элементом, строку и столбец матрицы, в которой размещен разрешающий элемент - разрешающими.
Перечисление элементов расширенной матрицы при выполнении элементарных преобразований выполняется по таким правилам:
) элементы разрешающей строки и всех вышерасположенных строк остаются неизменными;
) элементы разрешающего столбца, которые расположены ниже разрешающего элемента, обращаются в нуль;
) все другие элементы матрицы вычисляются по правилу прямоугольника: преобразовываемый элемент равняется разности произведений элементов главной и побочной диагонали.

Тут - разрешающий элемент, - преобразуемый элемент. Обозначим - элемент, который получен вычислением по правилу прямоугольника. Тогда

.

Модификацией метода Гаусса является метод полного исключения или метод Жордана - Гаусса.

Метод полного исключения (метод Жордана-Гаусса) заключается в том, что в результате преобразований расширенной матрицы в ней выделяется диагональная подматриця и тогда решение исходной системы выписывается просто.
Метод полного исключения работает за такими правилами:
) назначается разрешающий элемент; им будет коэффициент при неизвестной, которая исключается;
) элементы разрешающей строки остаются неизменными;
) все элементы разрешающего столбца (кроме разрешающего элемента) заменяются нулями и остаются такими до конца преобразований;
) все другие элементы матрицы пересчитываются по правилу прямоугольника.
Метод полного исключения может быть использован для обращения матрицы (известен также под названием метод элементарных превращений).
Для данной матрицы -го порядка строится прямоугольная матрица размера , к которой применяется преобразование по алгоритму полного исключения, в результате чего матрица сводится к виду , где . Это всегда возможно, если матрица невырожденная.