Aniq integral tushunchasi. 1 Aniq integral ta’rifi

1-natija. funksiya oraliqda uzluksiz bo’lsa, u holda uchun

Bo’ladi.
Demak, funksiya ning dagi boshlang’ich funksiyasi.
Endi quyi chegarasi o’zgaruvchi bo’lgan aniq integralni qaraymiz. funksiya oraliqda integrallanuvchi bo’lsin.U holda bu funksiya oraliqda ham integrallanuvchi va bu integral ga bog’liq bo’ladi.Uni

Deb belgilaymiz.Aniq integral xossasidan foydalanib topamiz:

Bundan esa

Bo’lishi kelib chiqadi.Bu tenglik, funksiyaning xossalarini hamda funksiyalarning xossalari orqali o’rganish mumkinligini ko’rsatadi.Jumladan, agar funksiya oraliqda uzluksiz bo’lsa, u holda

Bo’ladi.Haqiqatan ham, bu holda mavjud va u chekli son, funksiya esa yuqorida keltirilgan teoremaga ko’ra oraliqda hosilaga ega bo’lib,

Bo’ladi.
§ Aniq integrallarni hisoblash
1⁰. Aniq integrallarni ta’rifga ko’ra hisoblash. Aytaylik, bo’lsin. Unda integral ta’rifiga ko’ra,

Bo’ladi.
1-Misol. Ushbu

Integral hisoblansin.
Ravshanki, .Demak, . oraliqni ushbu

Nuqtalar yordamida, bunda ta teng bo’lakka bo’lib , har bir

Bo’lakda nuqtani quyidagicha

tanlaymiz. U holda funksiyaning integral yig’indisi quyidagicha

Ko’rinishga ega bo’ladi.
Ma’lumki,


Bo’ladi.
Natijada integral yig’indi uchun ushbu

Tenglikka kelamiz.
Keying tenglikda da limitga o’tib topamiz:
.
2⁰. Nyuton-Leybnis formulasi. Aytaylik, funksiya segmentda berilgan va shu segmentda uzluksiz bo’lsin. U holda boshlang’ich funksiya

Ga ega bo’ladi.
Ravshanki, funksiya ning ixtiyoriy boshlang’ich funksiyasi bo’lsa, u holda

Bo’ladi.
Bu tenglikda, avval deb
,
So’ngra deb

Bo’lishini topamiz. Demak,
(1)
(1) formula Nyuton-Leybnits formulasi deyiladi.
Odatda, ayirma kabi yoziladi. Demak,
.
Masalan,
.