Aniq integral tushunchasi. 1 Aniq integral ta’rifi

Eslatma. funksiya oraliqda integrallanuvchi bo’lsin.Biz

Hamda

Tengliklar o’rinli bo’ladi
. Aniq integrallarni hisoblash
2.1 Aniq integralning xossalari.
Agar funksiya oraliqda integrallanuvchi bo’lsa, u istalgan oraliqda ham integrallanuvchi bo’ladi.
Isbot. funksiya da integrallanuvchi bo’lsin.U holda olinganda ham shunday son topiladiki, oraliqni diametri bo’lgan har qanday bo’laklash uchun

Tengsizlik bajariladi.
bo’laklashning bo’luvchi nuqtalari qatoriga hamda nuqtalarni qo’shib, oraliqni yangi bo’laklashni hosil qilamiz.Ravshanki,
bo’ladi. U holda Darbu yig’indilarining xossasiga ko’ra,

Tengsizliklar o’rinli bo’ladi. va munosabatlardan

Bo’lishi kelib chiqadi.
oraliqdagi bo’laklashning bo’luvchi nuqtalarini oraliqning biror bo’laklashning bo’luvchi nuqtalari sifatida qaraymiz.Bu bo’laklashga nisbatan funksiyaning Darbu yig’indilari bo’lsin, u holda


Yig’indilarni taqqoslab,

Bo’lishini topamiz.Natijada munosabatni e’tiborga olsak,

Kelib chiqadi.Bundan funksiyaning oraliqda integrallanuvchi ekani kelib chiqadi.
Agar funksiya hamda oraliqlarda integrallanuvchi bo’lsa, u holda funksiya oraliqda ham integrallanuvchi bo’ladi va ushbu

Formula o’rinli.
Isbot. funksiya hamda oraliqlarda integrallanuvchi bo’lsin
.
U holda son olinganda ham songa ko’ra shunday son topiladiki, oraliqni diametri bo’lgan har qanday bo’laklashga nisbatan Darbu yig’indilari uchun

Tengsizlik o’rinli bo’ladi.Shuningdek, o’sha songa ko’ra shunday son topiladiki, oraliqni diametri bo’lgan har qanday bo’laklashga nisbatan Darbu yig’indilari uchun

Tengsizlik o’rinli bo’ladi.Endi deb, oraliqni diametri bo’lgan ixtiyoriy bo’laklashni olaylik.Bu bo’laklashning bo’luvchi nuqtalari qatoriga nuqtani ham qo’shib, oraliqni yangi bo’laklashni hosil qilamiz.Bu bo’laklashga nisbatan Darbu yig’indilari bo’lsin. oraliqdagi bo’laklashning bo’luvchi nuqtalarini shu oraliqni biror bo’laklashning bo’luvchi nuqtalari hamda oraliqdagi bo’laklashning bo’luvchi nuqtalarini oraliqni biror bo’laklashning bo’luvchi nuqtalari sifatida qaraymiz.Bu bo’laklashlarga nisbatan Darbu yig’indilarini tuzamiz:

Ravshanki,bu yig’indilar uchun mos ravishda yuqoridagi , tengsizliklar o’rinli bo’ladi:


Ikkinchi tomondan,


Bo’lib,natijada

Bo’lishi kelib chiqadi.Demak, son olinganda ham shunday son topiladiki, oraliqni diametri bo’lgan har qanday bo’laklashga nisbatan Darbu yig’indilari uchun

Bo’ladi.Bu esa funksiyaning oraliqda integrallanuvchi ekanini ko’rsatadi.
Yuqoridagi bo’laklashga nisbatan funksiyaning oraliqdagi integral yig’indilarini tuzib,ularni mos ravishda quyidagi

Ko’rinishda belgilasak, u holda

Bo’ladi. funksiya oraliqlarda integrallanuvchi bo’lgani uchun



Tengliklarga egamiz. tenglikdan da izlangan formula kelib chiqadi.Shunday qilib, xossa isbotlandi.
Endi nuqta oraliqdan tashqarida yotsin, ya’ni nuqta yoki
tengsizlikni qanoatlantirsin.Agar bo’lsa, u holda
bo’lgani uchun xossaga ko’ra funksiya da integrallanuvchi bo’lib,yuqorida isbot etilganiga asosan

Bo’lishini topamiz.
Xuddi shunga o’xshash, bo’lganda ham funksiya da integrallanuvchi bo’lishi va tegishli formulaning o’rinli ekani ko’rsatiladi.
Agar funksiya oraliqda integrallanuvchi bo’lsa, u holda
ham shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi va ushbu

Formula o’rinli.
Isbot. funksiya oraliqda integrallanuvchi bo’lsin.Demak,

Endi funksiyaning mos integral yig’indisini yozamiz:

U holda

Bundan da quyidagi

Tenglik kelib chiqadi.Bu izlangan formulaning o’rinli ekanini anglatadi.
Agar funksiya da integrallanuvchi va bo’lsa, u holda funksiya ham shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi.
Isbot. funksiya da integrallanuvchi bo’lsin.Demak, olinganda ham ga ko’ra shunday topiladiki, oraliqni diametri bo’lgan har qanday bo’laklash uchun

Bo’ladi.Bunda


bo’lganligini e’tiborga olib, funksiya uchun


Mavjud bo’lishini aniqlaymiz.Ravshanki,

Bo’ladi.Natijada

Bo’ladi.Bu esa funksiyaning da integrallanuvchi ekanligini bildiradi.
Agar va funksiyalar oraliqda integrallanuvchi bo’lsa,u holda
funksiya ham shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi va ushbu

Formula o’rinli bo’ladi.
Isbot. va funksiyalar oraliqda integrallanuvchi bo’lsin.Demak,


Endi funksiyaning oraliqdagi mos integral yig’indisini yozamiz:

Bundan da quyidagiga egamiz:

Bu izlangan formulaning o’rinli ekanligini ko’rsatadi.