Aniq integral tushunchasi. 1 Aniq integral ta’rifi

1-eslatma. Agar funksiya segmentda chegaralanmagan bo’lsa ,u shu segmentda integrallanmaydi.
Haqiqatan ham, funksiya segmentda yuqoridan chegaralanmagan bo’lsin.U holda bo’laklash olinganda ham bu bo’laklashning birorta ,masalan, segmentida funksiya yuqoridan chegaralanmagan bo’ladi.Demak, son olinganda ham shunday nuqta mavjudki,

Tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Endi nuqtani yuqoridagidek olib, nuqtalarni esa mos ravishda segmentlarda tayinlab , funksiyaning integral yig’indisini tuzsak,bu integral yig’indining qiymati har qancha katta bo’lishini bilish qiyin emas.Ravshanki,bu holda integral yig’indi chekli limitga ega bo’lmaydi. Demak, funksiya segmentda integrallanmaydi.Shunday qilib, segmentda integrallanuvchi funksiya shu oraliqda chegaralangan bo’lishi zarur.
1.2 Darbu yig’indilari. Aniq integralning boshqacha ta’rifi.
1. Darbu yig’indilari. funksiya oraliqda aniqlangan bo’lib, u shu oraliqda chegaralangan bo’lsin.Demak, shunday o’zgarmas va sonlar mavjudki, lar uchun

Tengsizliklar o’rinli bo’ladi.
Endi oraliqni biror

bo’laklashni olaylik.Modomiki, funksiya oraliqda chegaralangan ekan ,funksiya har bir oraliqda ham chegaralangan bo’lib,bu funksiyaning aniq chegaralari


Mavjud bo’ladi.
Ravshanki, ixtiyoriy uchun

Tengsizliklar ham o’rinli bo’ladi.Endi va sonlarni oraliqning uzunligi ga ko’paytirib quyidagi


Yig’indilarni tuzamiz.
1-ta’rif. Ushbu

Yig’indilar mos ravishda Darbuning quyi hamda yuqori yig’indilari deb ataladi.Bu ta’rifdagi va sonlar uchun
tengsizlik o’rinli bo’lganidan
tengsizlik ham o’rinli bo’lishi kelib chiqadi.
Ravshanki, yig’indilar funksiyaga bog’liq bo’lishi bilan birga oraliqni bo’laklashga ham bog’liq bo’ladi,ya’ni

Ammo,biz hamma vaqt muayyan bitta funksiyaning integrali tushunchasini o’rganamiz, shuni e’tiborga olib , soddalik uchun , Darbu yig’indilarini
kabi belgilab boramiz.(1.2.3) tengsizliklarni ga ko’paytirib topamiz:

Keyingi tengsizliklardan esa

Tengsizliklar kelib chiqadi.Demak,

Shunday qilib, funksiyaning integral yig’indisi har doim uning Darbu yig’indilari orasida bo’lar ekan.
munosabatdan yana bitta xulosa chiqarish mumkin: nuqtani tanlab olish hisobiga ni ,shuningdek, qiymatlarga har qancha yaqin keltirish mumkin.Bundan esa Darbuning quyi hamda yuqori yi’gindilari berilgan bo’laklash uchun integral yig’indining mos ravishda aniq quyi hamda aniq yuqori chegaralari bo’lishi kelib chiqadi:

Endi va munosabatlarga ko’ra )

Tengsizliklar o’rinli.Shuning uchun ushbu


Tengsizliklar ham o’rinli.Ravshanki,

Demak, uchun quyidagi

Tengsizliklar o’rinli bo’ladi.Bu esa Darbu yig’indilarining chegaralanganligini bildiradi.