Aniq integral tushunchasi. 1 Aniq integral ta’rifi

5-natija.(Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi). Agar funksiyalar oraliqda integrallanuvchi bo’lsa, u holda funksiya ham oraliqda integrallanuvchi bo’ladi va

Tengsizlik o’rinli.
Agar funksiya oraliqda integrallanuvchi bo’lsa, u holda funksiya ham shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi va

Tengsizlik o’rinli bo’ladi.
2.2 Chegaralari o’zgaruvchi bo’lgan aniq integrallar.
funksiya oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. U holda aniq integralning -xossasiga ko’ra funksiya istalgan oraliqda ham integrallanuvchi bo’ladi

Integral ham ga bog’liq.Uni deb belgilaymiz.

Endi funksiyaga ko’ra funksiyaning xossalarini o’rganamiz.
1-teorema. Agar funksiya oraliqda integrallanuvchi bo’lsa, funksiya shu oraliqda uzluksiz bo’ladi.
Isbot. funksiya integrallanuvchi bo’lgani uchun

Bo’ladi. nuqta olib,unga shunday orttirma beraylikki,
bo’lsin. U holda funksiyaning orttirmasi uchun quyidagiga ega bo’lamiz:

Aniq integralning 7-xossasidan foydalanib topamiz:

Demak,

Bundan esa

Limit kelib chiqadi. bo’lganda ham xuddi yuqoridagiga o’xshash
bo’lishi ko’rsatiladi.Bu esa funksiyaning nuqtada uzluksizligini bildiradi.
2-teorema. Agar funksiya oraliqda integrallanuvchi bo’lib, nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo’ladi va

Isbot. funksiyaning nuqtadagi ottirmasi:

Ni olib, quyidagi

Ayirmani qaraymiz.Aniq integralning xossalaridan foydalanib topamiz:

Bu munosabatdan

Tengsizlik kelib chiqadi.
Shartga ko’ra funksiya nuqtada uzluksiz.Ta’rifga asosan; olinganda ham shunday son topiladiki, bo’lganda
bo’ladi.Agar deb olsak, u holda uchun

Bo’ladi.Natijada (2.2.1) tengsizlik quyidagi

Bundan

Ya’ni

Tenglik kelib chiqadi.Yuqoridagidek, bo’lganda

Ya’ni

Tenglik ham o’rinli bo’lishi ko’rsatiladi.
Agar funksiya oraliqda integrallanuvchi bo’lib, va
nuqtalarda uzluksiz (bunda funksiyaning )bo’lsa, u holda

Bo’lishi yuqoridagiga o’xshash ko’rsatiladi.