Aniq integral tushunchasi. 1 Aniq integral ta’rifi

1.3 Integrallanuvchi funksiyalar sinfi.
funksiya oraliqda aniqlangan bo’lsin.
1-teorema. Agar funksiya oraliqda uzluksiz bo’lsa,u shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi.
2-teorema. Agar funksiya oraliqda chegaralangan va monoton bo’lsa,funksiya shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi.
Isbot. funksiya da chegaralangan va shu oraliqda,aytaylik,o’suvchi bo’lsin. sonni olib,unga ko’ra sonni quyidagicha tanlaylik:

So’ngra oraliqni diametri bo’lgan bo’laklashga nisbatan Darbu yig’indilari ni tuzamiz.U holda

Demak, .
Bu esa funksiyaning oraliqda integrallanuvchi ekanligini bildiradi.
Chegaralangan hamda kamayuvchi funksiyaning integrallanuvchi bo’lishi ham xuddi shunday isbotlanadi.
3-teorema. Agar funksiya oraliqda chegaralangan va bu oraliqning chekli sondagi nuqtalarida uzilishga ega bo’lib,qolgan barcha nuqtalarida uzluksiz bo’lsa, funksiya shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi.
Isbot. funksiya da chegaralangan bo’lib,shu oraliqning faqat bitta nuqtasida uzilishga ega,qolgan barcha nuqtalarida uzluksiz bo’lsin.
. son olib, nuqtaning

Atrofini tuzamiz.Bu atrof

Qismlarga ajratadi.
Shartga ko’ra, funksiya va oraliqning har birida uzluksiz.Bu oraliqning har biriga alohida Kantor teorema natijasini qo’llaymiz.U holda olingan son uchun shunday va sonlar topiladiki,


Tengsizliklar o’rinli ekanligi kelib chiqadi.Agar deb olsak,u holda ikkala oraliq uchun bir vaqtda

Tengsizlikning o’rinli ekani kelib chiqadi.
Endi yuqoridagi songa ko’ra sonni deb olaylik.
oraliqni diametri bo’lgan bo’laklashlarga nisbatan funksiyaning Darbu yig’indilarini tuzib,quyidagi

Ayirmani qaraymiz. yig’indining har birida
Oraliqning uzunligi qatnashadi.Bu oraliqlarning nuqtaning atrofidan tashqarida joylashganiga ,ya’ni munosabat o’rinli bo’ladiganiga mos keladigan yig’indining hadlaridan tuzilgan yig’indi

Bo’lsin. yig’indining qolgan barcha hadlaridan tashkil topgan yig’indi

Bo’lsin,bunda yoki yoki bo’ladi.
Natijada yig’indi ikki qismga ajraladi:

Endi bu yig’indilarni baholaymiz.Yuqoridagi munosabatdan foydalanib topamiz:

Ikkinchi yig’indi uchun

Bo’lishini topamiz,bunda funksiyaning oraliqdagi tebranishi.
Agar atrofda butunlay joylashgan oraliqlar uzunliklarining yig’indisi dan kichikligini hamda va nuqtalarni o’z ichiga olgan oraliqlar ikkita bo’lib,ularning uzunliklari yig’indisi ham dan kichik bo’lishini e’tiborga olsak,u holda

Bo’ladi.Natijada munosabatlardan

Ekani kelib chiqadi.Demak,

Bu esa funksiyaning da integrallanuvchi bo’lishini bildiradi.
funksiya oraliqning chekli sondagi nuqtalarida uzilishga ega bo’lib,qolgan barcha nuqtalarida uzluksiz bo’lsa,uning da integrallanuvchi bo’lishi yuqoridagidek isbot etiladi.
Misol. funksiya intervalda uzluksiz .Demak,yuqoridagi 1-teoremaga ko’ra bu funksiya ixtiyoriy da integrallanuvchi bo’ladi.

Integralni hisoblaylik.
Modomiki, funksiya oraliqda integrallanuvchi ekan,bu funksiyaning oraliq bo’yicha integralini ta’rifiga ko’ra hisoblashda , oraliqni bo’laklashda hamda har bir bo’laklashda nuqtalarni integral yig’indi va uning limitini hisoblashga qulay qilib olish imkoniyatiga ega bo’lamiz.Shuni e’tiborga olib, oraliqni ushbu

Nuqtalar yordamida ta teng bo’lakka bo’lib,har bir

Bo’lakda nuqtani quyidagicha tanlaymiz:

U holda funksiyaning integral yig’indisi quyidagi

Ko’rinishda bo’ladi.Ushbu

Tenglikdan foydalanib, uchun

Formulani topamiz.Natijada da

Bo’ladi.Demak,

Xususan