Aniq integralni taqribiy hisoblash
Download 1.09 Mb. Pdf ko'rish
|
aniq integralni taqribiy hisoblash va uning tadbiqlari
|
Aniq integralni taqribiy hisoblash Odatda, aniq integrallar Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblanadi. Bu formula boshlang`ich funksiyaga asoslanadi. Ammo boshlang`ich funksiyani topish masalasi doim osongina hal bo`lavermaydi. Agar integral ostidagi funksiya murakkab bo`lsa, tegishli aniq integralni taqribiy hisoblashga to`g`ri keladi.
) (x f funksiya ] ,
b a segmentda berilgan va uzluksiz bo`lsin. Demak, ]) ,
) (
a R x f . Masala
a dx x f ) ( integralni taqribiy hisoblashdan iborat. ] , [ b a oraliqni b x x x x x a n n , ,..., , , 1 2 1 0 nuqtalar n x x x x ... 2 1 0 yordamida n ta
teng bo`lakka bo`lib, har
bir ) 1 ,..., 2 , 1 , 0 ( ] , [ 1
k x x k k bo`yicha integralni quyidagicha ) (
( ) 2 ( ) ( 2 1 1 1 1 k x x k k k k x f n a b x x x x f dx x f k k taqribiy hisoblaymiz, bunda n a b x x n a b k a x x x n a b k a x k k k k k k 1 1 2 1 , ) 2 1 ( 2 , ). 1 ,..., 2 , 1 , 0 ( n k
Aniq integral xossasidan foydalanib topamiz: 1 0 1 2 1 ... ) ( ... ) ( ) ( ) ( x x x x x x b a k k dx x f dx x f dx x f dx x f
... ) ( ) ( ) ( ) ( ... 2 1 2 2 1 1 2 1 1 x f n a b x f n a b x f n a b dx x f n n x x )].
( ...
) ( ... ) ( ) ( [ ) ( ...
) ( ... 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 n k n k x f x f x f x f n a b x f n a b x f n a b Natijada b a dx x f ) ( integralni taqribiy hisoblash uchun quyidagi ) (
( 1 1 2 1 n k k b a x f n a b dx x f
(1) formulaga kelamiz. (1) formula to`g`ri to`rtburchaklar formulasi deyiladi. Endi (1) taqribiy formulaning xatoligini aniqlaymiz. (1) formulaning xatoligini 1 0 2 1 ) ( ) (
k k b a n x f n a b dx x f R (2) deylik. Aytaylik, ) (x f funksiya ] ,
b a segmentda uzluksiz ) (x f hosilaga ega bo`lsin. Avvalo
n R ni quyidagicha yozib olamiz: . )]
) ( [ ) ( ) ( ) ( ) ( 1 0 2 1 1 0 2 1 1 0 1 0 1 0 2 1 1 1 1 dx x f x f dx x f dx x f x f n a b dx x f R n k k n k x x k n k x x n k n k x x k n k k k k k k Teylor formulasidan foydalanib topamiz: 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( k k k k k x x f x x x f x f x f (bunda k son x va
2 1 k x sonlar orasida). Natijada
1 1 1 ) ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( ( 2 2 1 1 0 2 1 2 1 1 0 2 2 1 2 1 2 1 k k k k k k x x k k n k x x k k n k x x k k k k n dx x x f dx x x x f dx x x f x x x f R bo`ladi. Ravshanki, 1 0 2 1 k k x x k dx x x . Demak,
1 0 2 1 1 . 2 1 n k x x k k n k k dx x x f R
O`rta qiymat haqidagi teoremaga binoan ) ] , [ ( ) ( 12 ) ( ) ( 12 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 * * 3 3 * 2 1 2 2 1 * 2 2 1 1 1 k k k k k k k x x k x x k k k x x f n a b f x x dx x x f dx x x f k k k k bo`ladi. Shunday qilib, n R uchun ushbu
1 0 * 2 3 1 0 3 3 ) ( 1 24 ) ( ) ( 12 ) ( 2 1
k k k n k n f n n a b f n a b R ifodaga kelamiz. Ravshanki,
) ( ... ) ( ) ( ) ( 1 * 1 * 1 * 0 1 0 * miqdor ) ( ) 1 ,...,
2 , 1 , 0 ], , [ ( * x f n k b a k ning ] , [ b a oraliqdagi eng kichik m hamda eng katta M qiymatlar orasida, 1 0 * ) ( 1 n k k M f n m bo`ladi. Shartga ko`ra ) (x f funksiya ] , [ b a da uzluksiz. Uzluksiz funksiyaning xossasiga muvofiq ) , ( b a da shunday nuqta topiladiki, 1 0 * ) ( 1 ) (
k k f n f bo`ladi. Natijada n R uchun quyidagi ) ( 24 ) ( 2 3
n a b R n tenglikka kelamiz. Demak, ) ( 24 ) ( ) ( ) ( 2 3 1 0 2 1
n a b x f n a b dx x f n k k b a bo`ladi. Shunday qilib, ] , [ b a oraliqda ikkinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega bo`lgan ) (x f funksiyaning
) ( integralini (1) tug`ri to`rtburchaklar formulasi yordamida taqribiy hisoblansa, bu taqribiy hisoblash xatoligi quyidagi )) , ( ( ) ( 24 ) ( 2 3 b a f n a b R n
formula bilan ifodalanadi. 2 0 . Trapetsiyalar formulasi. ) (x f funksiyaning
) ( integralini taqribiy hisoblash uchun, avvalo ] , [ b a segmentni b x x x x x a n n , ,..., , , 1 2 1 0 nuqtalar yordamida
ta teng bo`lakka bo`linadi. So`ng
har bir
) 1 ,..., 2 , 1 , 0 ( ] , [ 1 n k x x k k bo`yicha integralni quyidagicha
1 ) 1 ,...,
2 , 1 , 0 ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 1 1
k x x k k k k n k x x x f x f dx x f taqribiy hisoblanadi. Natijada ushbu ... ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ... ) ( ) ( ) ( 1 2 2 1 0 1 1 0 1 0 2 1 1 x x x f x f x x x f x f dx x f dx x f dx x f dx x f b a x x x x x x n n ) ( ... ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( ... 1 2 1 0 1 1
n n n n n x f x f x f x f x f a b x x x f x f formulaga kelamiz. Demak, . )]
... ) ( ) ( 2 ) ( ) ( [ ) ( 1 2 1 0 n b a n x f x f x f x f x f n a b dx x f (3)
(3) formula trapetsiyalar formulasi deyiladi. Bu taqribiy formulaning hatoligi ) (
x f R n funksiya ] , [ b a da uzluksiz ) (x f hosilaga ega bo`lishi shartida , )) , ( ( 12 ) ( 2 3 b a f n a b R n bo`ladi. Demak,
). ( 12 ) ( )] ( ...
) ( ) ( 2 ) ( ) ( [ ) ( 2 3 1 2 1 0 f n a b x f x f x f x f x f n a b dx x f n b a n
Download 1.09 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|