Aniq integralni taqribiy hisoblash

2

0

.

)

(x

f

y



tenglama  bilan  berilgan  egri  chiziq  uzunligini

hisoblash. Faraz qilaylik, 

B

A



 egri chiziq ushbu 

b

x

a

x

f

y







,

)

(

 

tenglama  bilan  berilgan  bo`lsin.  Bunda 

)

(x

f

  funksiya 

]

,

[

b

a

  segmentda  uzluksiz 

va uzluksiz  

)

(x

f



 hosilaga ega.

]

,

[

b

a

 segmentning ixtiyoriy 

)

...

(

}

,...,

,

{

1

0

1

0

b

x

x

x

a

x

x

x

P

n

n













 

bo`laklashini olib, unga mos 

B

A



 yoyiga chizilgan  l siniq chiziqni hosil qilamiz. 

Bu siniq chiziqning perimetri  



















1

0

2

1

2

1

)]

(

)

(

[

)

(

)

(

n

k

k

k

k

k

x

f

x

f

x

x

l



bo`ladi. 

Har  bir 

]

,

[

1



k

k

x

x

  segmentda 

)

(x

f

  funksiyaga  Lagranj  teoremasini  qo`llab 

topamiz: 

,

)

(

1

)

(

)

(

1

)]

(

)

(

[

)

(

)

(

1

0

1

0

2

1

2

1

0

2

1

2

1

























































n

k

k

n

k

k

k

k

k

n

k

k

k

k

k

k

x

f

x

x

f

x

x

f

x

x

l









bunda  

.

]

,

[

1





r

k

k

x

x



 

Bu tenglikdagi yig`indining 

)

(

1

2

x

f





 funksiyaning integral yig`indisidan 

farqi  shuki,  integral  yig`indida   

]

,

[

1





k

k

k

x

x



  nuqta  ixtiyoriy  bo`lgan  holda 

yuqoridagi  yig`indida  esa 

k



  nuqta  Lagranj  teoremasiga  muvofiq  olingan  tayin 

nuqta  bo`lishidadir.  Ammo 

)

(

1

2

x

f





  funksiya    integrallanuvchi  bo`lganligi 

sababli 

k

k







 deb olinishi mumkin. Natijada 

















1

0

2

)

(

1

)

(

n

k

k

k

x

f

l





bo`lib, undan 

dx

x

f

x

f

l

b

a

n

k

k

k

p

p





























)

(

1

)

(

1

lim

)

(

lim

2

1

0

2

0

0









 

bo`lishi kelib chiqadi. 

Demak, 

B

A



 yoyining uzunligi 









b

a

dx

x

f

B

A

)

(

1

)

(

2





        

  (2) 

bo`ladi. Bu formula yordamida yoy uzunligi hisoblanadi. 

1-misol. Ushbu 

)

,

0

(

)

(

2

)

(

a

x

a

a

e

e

a

x

f

a

x

a

x















 

tenglama bilan berilgan 

B

A



 egri chizig`ining uzunligi topilsin. 

Bu tenglama bilan aniqlanadigan chiziq zanjir chizig`i deyiladi. 

◄ Ravshanki, 

,

)

(

2

1

)

(

a

x

a

x

e

e

x

f









,

)

(

4

1

)

(

1

2

2

a

x

a

x

e

e

x

f











)

(

2

1

)

(

1

2

a

x

a

x

e

e

x

f











bo`ladi. (2) formuladan foydalanib, zanjir chizig`ining uzunligini topamiz: 























a

a

a

a

a

x

a

x

a

x

a

x

e

e

a

e

e

a

dx

e

e

B

A

).

1

(

)

(

2

)

(

2

1

)

(





► 

3

0

. Parametrik ko`rinishda berilgan egri chiziq uzunligini hisoblash.

Faraz qilaylik, 

B

A



 egri chiziq ushbu 



























t

t

y

t

x

)

(

),

(

tenglamalar sistemasi bilan berilgan bo`lib, (1) shartlar-ning bajarilishi bilan birga 

)

(

),

(

t

t





funksiyalari 

]

,

[





  da  uzluksiz 

)

(t





hamda 

)

(t





hosilalarga  ega 

bo`lsin. 

]

,

[





segmentning ixtiyoriy 





)

...

(

,...,

,

1

0

1

0

















n

n

t

t

t

t

t

t

P

 

bo`laklashini 

olib, 

ularga 

mos 

B

A



yoyiniig 

)

,

(

k

k

k

k

y

x

A

A



))

(

,

)

(

(

k

k

k

k

t

y

t

x









  nuqtalarini  bir-biri  bilan  to`g`ri  chiziq  kesmasi 

yordamida birlashtirishdan hosil bo`lgan 

l

 siniq chiziq perimetri 



















1

0

2

1

2

1

))]

(

)

(

[

)]

(

)

(

[

)

(

n

k

k

k

k

k

t

t

t

t

l











ni qaraymiz. 

Lagranj teoremasidan foydalanib topamiz: 





k

k

k

k

n

k

k

k

n

k

k

k

k

k

k

k

t

t

t

t

t

t

t

t

l























































1

1

0

2

2

1

0

2

1

2

2

1

2

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(



















bunda

.

]

,

[

.

]

,

[

1

1









k

k

k

k

k

k

t

t

t

t





 

Keyingi tenglikni quyidagicha yozib olamiz: 





















k

n

k

k

k

t

l

1

0

2

2

)

(

)

(

)

(











k

k

k

n

k

k

k

t



























]

)

(

)

(

)

(

)

(

[

2

2

1

0

2

2

















 (*) 

bunda,     

].

,

[

1





k

k

k

t

t



 

Modomiki,   

]

,

[

)

(

)

(

2

2









C

t

t









 

ekan unda 

]

,

[

)

(

)

(

2

2









R

t

t









 

bo`lib, 





























1

0

2

2

2

2

0

)

(

)

(

)

(

)

(

lim

n

k

k

k

k

dt

t

t

t

p



















        

(3) 

bo`ladi.          

Ixtiyoriy  

d

c

b

a

,

,

,

 haqiqiy sonlar uchun ushbu

d

b

c

a

d

c

b

a















2

2

2

2

tengsizlik o`rinli bo`ladi. 

◄ Haqiqatan ham, 





















































2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

)

(

)

(

d

c

b

a

d

b

d

b

d

c

b

a

c

a

c

a

d

c

b

a

d

b

c

a

d

c

b

a

  

.

d

b

c

a









► 

Bu tengsizlikdan foydalanib topamiz: 

























k

k

k

n

k

k

k

t

]

)

(

)

(

)

(

)

(

[

2

2

1

0

2

2

















 



































1

0

1

0

)

(

)

(

)

(

)

(

n

k

n

k

k

k

k

k

k

k

t

t

















 





























1

0

1

0

.

)

(

)

(

n

k

n

k

k

k

t

t









 

]

,

[

)

(

,

]

,

[

)

(













R

t

R

t









 

bo`lganligi sababli 

0

]

)

(

)

(

)

(

)

(

[

lim

2

2

1

0

2

2

0





























k

k

k

n

k

k

k

t

p



















      (4) 

bo`ladi. 

(3)  va  (4)  munosabatlarni  e’tiborga  olib, 

0



p



  da  (*)  tenglikda  limitga 

o`tsak, u holda 

B

A



 yoyining uzunligi uchun 

dt

t

t

B

A





















)

(

)

(

)

(

2

2



   (5) 

bo`lishi kelib chiqadi. Bu formula yordamida yoy uzunligi hisoblanadi. 

2-misol. Ushbu  

)

0

(

)

cos

1

(

)

sin

(















t

t

a

y

t

t

a

x

tenglamalar  sistemasi  bilan  berilgan 

B

A



egri  chiziqning  (sikloidaning)  uzunligi 

topilsin. 

◄ Ravshanki, 

)

cos

1

(

2

)

(

)

(

,

)

cos

1

(

2

sin

)

cos

1

(

)

(

)

(

,

sin

)

(

,

)

cos

1

(

)

(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

t

a

t

y

t

x

t

a

t

a

t

a

t

y

t

x

t

a

t

y

t

a

t

x





































 

bo`ladi.  (5) formulaga ko`ra  izlanayotgan egri chiziqning uzunligi 

a

t

a

dt

t

a

dt

t

a

B

A

8

)

2

(cos

4

2

sin

2

)

cos

1

(

2

)

(

2

0

2

0

2

0





























bo`ladi. ►